Gruppe - Beweis

Aufrufe: 716     Aktiv: 28.03.2020 um 17:53
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Hallo, 

habe folgende Aufgabe: 

Sei \((G, *) \) eine Gruppe. Das zu \(a\in G\) inverse Element is \(a^-1\) und \(e\) steht für das neutrale Element.

Zeige, dass für \(a, b, c \in G\) stets gilt:

\((a*b)^{-1} = b^{-1}*a^{-1}\)

Heißt, dass wenn  \((a*b)^{-1}*(a*b) = e = (b^{-1}*a^{-1}) * (a*b) \)

Ist meine Behauptung richtig?

Weiß jetzt aber nicht, wie ich das angehen soll..

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Student, Punkte: 96

 
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1 Antwort
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Hallo,

der Ansatz ist \((a*b)^{-1}*(a*b)=e\) nun für die linke Seite das Assoziativgesetz verwenden: \((a*b)^{-1}*a*b=e\). Anschließend beide Seiten von rechts erst mit \(b^{-1}\), dann mit \(a^{-1}\) multiplizieren:

\((a*b)^{-1}*a*b*b^{-1}=e*b^{-1}\Leftrightarrow\ (a*b)^{-1}*a=b^{-1}\Leftrightarrow (a*b)^{-1}*a*a^{-1}=b^{-1}*a^{-1}\Leftrightarrow (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}\).

Viele Grüße,

MoNil

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Ich hab' jetzt einfach mal vorausgesetzt, dass das Rechtsinverse existiert und dass das neutrale Element von beiden Seiten multipliziert neutral ist ...   ─   monil 28.03.2020 um 15:53
Wie kommst du von \( (a*b)^{-1} * a * b *b^{-1} = e * b^{-1}\) auf \((a*b)^{-1} *a = b^{-1}\)   ─   mathematikmachtspaß 28.03.2020 um 16:02
Ohne die Klammern steht da ja \(b*b^{-1}\) und \(b^{-1}\) ist das zu \(b\) inverse Gruppenelement, d.h. \(b*b^{-1}=e\). \(e\) ist doch das neutrale Element (wie du geschrieben hast, also gilt f.a. \(a\in G:\, e*a=a=a*e\) was die rechte (und genau genommen auch die linke) Seite der Gleichung erklärt.   ─   monil 28.03.2020 um 16:13
Alles klar, danke!   ─   mathematikmachtspaß 28.03.2020 um 17:50
Gern geschehen. Tipp für die Zukunft: bleib Deinem usernamen treu ;-)
Viele Grüße   ─   monil 28.03.2020 um 17:53

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