Hey,

der Steigungswinkel beschreibt den Anstieg der Tangenten an einem Punkt im Bezug auf die horizontale. Den Anstieg \( m \) der Funktion \( f(x) \) erhältst du durch bestimmen der Ableitung \( f'(x) \). Durch Einsetzen eines Wertes für x, kannst du somit den Anstieg der Funktion an der gewählten Stelle berechnen. Nun interessierst du dich im speziellen für den Steigungswinkel. Den kann man sich recht leicht herleiten, wenn man sich das Steigungsdreieck (also den Differenzenquotient) anschaut. Der Anstieg \( m \) der Tangente besagt ja, dass die Funktion für eine Einheit in x-Richtung sich um m-Einheiten in y-Richtung verändert. Wenn du dir diese Veränderung (genau das ist das Steigungsdreieck) mal einzeichnest für eine Funktion, dann erkennst du ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem du die Ankathete (das ist die Änderung der x-Achse) und Gegenkathete (das ist die Veränderung entlang der y-Achse) gegeben hast. Gemäß der Trigonometrie kann man den Zusammenhang zwischen Winkel und Ankathete und Gegenkathete über den Tangens herstellen.

Lange Erklärung kurzer Sinn - Für den Steigungswinkel gilt: \( tan(\alpha) = m \).

Also hast du \( m \) über die Ableitung berechnet, musst du nur noch den Winkel \( \alpha \) bestimmen, in dem du \( \alpha = tan^{-1} (m) \) bestimmst, also die Umkehrfunktion des Tangens vom Anstieg \( m \) berechnest.

Für den Schnittwinkel ist die Herleitung etwas komplizierter und erfolgt über die Additionstheoreme. Falls dich das interessiert, findest du dazu sicherlich einige Videos und Beiträge im Netz.

Der Schnittwinkel bezieht sich im Allgemeinen den Winkel zwischen 2 sich schneidenden Funktionen oder in der Geometrie auch Flächen. Für den Schnittwinkel von 2 Funktionen benötigt man erneut den Anstieg der beiden sich schneiden Funktionen am Schnittpunkt. Also musst du gegebenenfalls den Schnittpunkt bestimmen (falls nicht sowieso gegeben) und setzt diesen Wert in die ersten Ableitungen der beiden Funktionen ein, um dadurch die beiden Anstiege \( m_1\) und \( m_2 \) zu berechnen. Mit diesen beiden Anstiegen kannst du wiederum eine Formel anwenden. Wie oben bereits erwähnt leitet sich diese u.a. aus den Additionstheoremen her.

Es gilt: \( tan(\alpha) = \mid \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \mid \)

Also auch hier musst du nach der Berechnung der Anstiege wiederum die Werte nur noch einsetzen und am Ende noch die Umkehrfunktion des Tangens anwenden, um den Schnittwinkel zu berechnen.