Der Anfang ist soweit ich das beurteilen kann richtig.

Schwierig (und meiner meinung nach auch der falsche Ansatz) wird es dann, wenn du anfängst, den Induktionsschritt als Gleichung umzuformen.
Möglich ist es zwar, bei deiner Umformung treten nur gleich zwei Fehler auf:

1. Wenn du mit 2 multiplizierst, musst du die +(n+1) auf der rechten Seite der Gleichung ebenfalls mit 2 multiplizieren

2. Du versuchst durch (n+1) zu teilen, aber wie wir wissen "Durch Summen und Differenzen teilen nur die..."
Die (n+1) würdest du auf die andere Seite bringen, indem du sie von beiden abziehst, nicht teilst (was dir bei deiner Umformung jedoch nicht weitergeholfen hätte)
Was funktioniert bei der Gleichungslösung:
Das +(n+1) mit 2/2 erweitern, sodass du beides auf denselben Nenner bringen kannst, und dann einfach den Zähler auf beiden Seiten ausmultiplizieren. Dann sollte beim Zusammenfassen auf beiden Seiten derselbe Term herauskommen.

Einfacher ist es in der Regel immer, den Term bei dem Induktionsschritt zu nehmen und bis zur Induktionsbedingung umzuformen.

Hab dir hier mal meine Umformung abfotografiert.
Die letze Umformung sieht quasi aus wie eine binomische Formel, ist es aber natürlich nicht ganz, aber wenn man rückwärts die bedingung ausmultipliziert kommt auch genau das heraus ;)

Ich hoffe, das hat dir soweit geholfen! ;)