Um Monotonie zu widerlegen, genügt ein Gegenbeispiel. Zum Beweis der Montonie:

Wenn man zeigen möchte, dass eine Folge monoton wachsend ist, so zeigt man, dass

\( x_{n+1} \geq x_n\) 

mit \(n \in \mathbb{N}\) beliebig. Dazu ziehst du am besten alles auf die linke Seite und zeigst, dass der Ausdruck \(\geq0\) ist. Für streng monoton wachsend ersetzt du das \(\geq\) durch \(>\), für monoton fallend bzw. streng monoton fallend dann \(\leq\) bzw. \(<\).

Für die Beschränktheit hast du schon richtig erkannt, dass eine obere und eine untere Schranke gefunden werden muss. Lediglich auf das asymptotische Verhalten zu schauen ist nur zulässig, wenn die Folge monoton ist. Ansonsten könnte die Folge ja bei ein paar Folgengliedern zwischendurch höhere bzw. kleinere Werte annehmen. Vorteilhaft ist aber, dass man die Monotonie für beide Folgen (im Fall der ersten Folge für einen Großteil der Folge) hinbekommt.

Im ersten Fall kannst du aber sagen, dass die Folge für alle \(n\geq2\) monoton fallend ist. Dann ist die obere Schranke durch das Maximum von \(x_1\) und \(x_2\) gegeben und das asymptotische Verhalten gibt die untere Schranke an.

Im zweiten Fall hast du aufgrund des monoton wachsenden Verhalten die untere Schranke gegeben durch den Startwert \(x_0\). Die obere Schranke erhältst du dann ebenfalls durch das asymptotische Verhalten.

In beiden Fällen musst du auf jeden Fall das asymptotische Verhalten durch eine Grenzwertbetrachtung beweisen.