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Hallo,
wenn du einen abziehst, hast du eine Null und Werte von \( 0 \) bis \( 6-1 \). Wenn du zwei abziehst, hast du zwei Nullen und Wert von \(0\) bis \( 6-2 \).
Ziehen wir \( k \) ab, mit \( k \in \{ 0,\ldots, 6\} \) ab, erhalten wir als Summe aller Werte
$$ k \cdot 0 + \sum\limits_{i=1}^{6-k} i = \sum\limits_{i=1}^{6-k} i = \frac {(6-k)^2 +(6-k)} {2} $$
Die letzte Gleichheit folgt aus dem kleinen Gauß. Weiter zusammengefasst, erhalten wir
$$ \frac {42 -13k + k^2} 2 $$
Das ganze teilen wir nun für das artihmetische Mittel noch durch die Anzahl der Werte (also durch 6)
$$ \overline{x}_k = \frac {42 - 13k + k^2} {12} $$
Für \( k=1 \) erhalten wir nun \( 2{,}5 \) usw. Für \( k=4 \) würde ich deinem Wert widersprechen. Da du ja von allen Werten \( 4 \) abziehst, hast du die Werte
$$ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 2 $$
Daraus resultiert
$$ \frac 3 6 = \frac 1 2 $$
Das ergibt auch meine Formel.
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Das Problem ist, das wir ja nicht genau wissen, was wir würfeln. Bei um die 10000 Würfe, würde ich aber trotzdem sagen, das sich die Würfe wieder dem Durchschnitt annähern. Die durchschnittliche Summe der Ereignisse wäre dann
$$ \overline{x} \cdot n $$
Wir würden dann die Formel
$$ \frac {\overline{x} \cdot n - k } n $$
Kann das hinkommen?
Sorry das ich dir doch nicht sicher helfen kann. Aber vielleicht kommen wir ja zusammen drauf. :) Ansonsten lösche ich auch gerne meine Antwort damit die Frage wieder unter unbeantwortet auftaucht.
Grüße Christian ─ christian_strack 13.05.2020 um 13:56
Kann man denn über eine Rechnung (also nicht über ein Baumdiagramm oder ähnlichem) herausfinden, zu wie viel Prozent das Ergebnis eines Wurfes (mit mehreren Würfeln) unter einer Zahl x liegt ? (also zum Beispiel: wenn ich mit drei 20 Seitigen würfeln würfel, zu wie viel Prozent ist das Ergebnis 4 oder weniger?) Wenn dies möglich ist, wäre das Problem denke ich gelöst. ─ tmd.maxw 16.05.2020 um 16:46
Wir haben die Verteilungsfunktion:
$$ F(x) = P(X \leq x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & x < a \\ \frac {\lfloor x \rfloor -a +1} {b-a+1} & x \in [a,b] \\ 1 & x > b \end{matrix} \right. $$
Beim würfeln haben wir die Ereignisse
$$ x_1 = 1, \quad x_2 = 2, \ldots x_6 = 6 $$
Wir habe also das Intervall
$$ [ a,b] = [1,6] $$
und somit die Verteilung:
$$ F(x) = P(X \leq x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & x < 1 \\ \frac {\lfloor x \rfloor -1 +1} {6-1+1} & x \in [1,6] \\ 1 & x > 6 \end{matrix} \right. = \left\{ \begin{matrix} 0 & x < 1 \\ \frac {\lfloor x \rfloor } {6} & x \in [a,b] \\ 1 & x > 6 \end{matrix} \right. $$
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis kleiner als \( 4 \) ist, wäre dann
$$ P(X \leq 3) = \frac {\lfloor 3 \rfloor} 6 = \frac 3 6 = \frac 1 2 $$ ─ christian_strack 18.05.2020 um 09:07
Leider bekommt man durch diese Rechnung nur das Ergebnis eines Wurfes. Es werden jedoch mehrere Würfel geworfen und diese dann zusammen gerechnet. Das macht die Sache nochmal um einiges komplizierter :/ ─ tmd.maxw 25.06.2020 um 12:02
Beispiel: 3 Würfel mit 4 Seiten und n=4 wird abgezogen:
Würfelergebnis: 2, 3, 4
daraus folgt die Summe 9
diese Minus n ergibt 5
N wird also als letzter Schritt abgezogen. Und genau das ist das schwierige.
Das Ziel ist es, eine Formel zu haben, in der Man die 3 Variablen: "Anzahl der Würfel"; "Seiten pro Würfel" und "Abzug vom Gesamtwürfelergebnis" hat und einem den Durchschnittswert errechnet.
Zum Beispiel: (durch Simulationen mit 100 000 Würfen herausgefunden)
Anzahl der Würfel: 2
Seiten: 20
Abzug nach Summe der Augen: 3
ermittelter Durchschnittswert: 18
Anzahl der Würfel: 2
Seiten: 20
Abzug nach Summe der Augen: 10
ermittelter Durchschnittswert: 11,3
Über eine Simulation lässt sich dies relativ genau ermitteln, es wäre jedoch zu umständlich jedes mal eine Simulation laufen zu lassen, bei der man am Ende noch immer kein genaues Ergebnis hat.
Ich hoffe du kannst mir noch einmal weiterhelfen :)
Liebe Grüße ─ tmd.maxw 11.05.2020 um 14:40