Beweis, dass ein Minimum vorliegt (mehrdimensionale Analysis)

Aufrufe: 1220     Aktiv: 13.05.2020 um 13:14
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Quelle: https://www.math.tugraz.at/~elsholtz/WWW/lectures/ss20/chemie2/ue08.pdf

Wie beweise ich hier, dass es sich bei dem ermittelten Punkt auch um ein Minimum handelt? Ich habe mit Lagrange den Extrempunkt berechnet, aber ich kann ja durch den nicht sagen ob es ein Minimum etc. ist? Ich habe es auch mit der Hesse-Matrix der Ursprungsfkt. schon probiert, aber die ist hier 0 und sagt ja auch nichts aus. Wie beweise ich nun, dass es sich hier um einen Tiefpunkt handelt?

 

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Am einfachsten ist es, wenn du zunächst die Hessematrix deiner Funktion bestimmst, die kritischen Punkte einsetzt und die Definitheit bestimmst.

Ist die Matrix positiv definit, dann handelt es sich bei dem jeweiligen Punkt um ein lokales Minimum.

Ist die Matrix negativ definit, dann handelt es sich bei dem jeweiligen Punkt um ein lokales Maximum.

 

Ist die Matrix allerdings indefinit, dann musst du die gerenderte Hessematrix untersuchen.

 

Ich habe dir unten noch ein gutes Video drangepackt. Schau dir gern auch die anderen Videos von MathePeter zu diesem Thema an. 

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Danke, aber bei dieser Hessematrix kommen bei mir nur Nullen vor, da kann ich ja keine Aussage über die Definitheit treffen?   ─   thalgaugang1 12.05.2020 um 18:38
Nein dann musst du wie gesagt die geränderte Hessematrix betrachten. Ich hab es gerade mal durchgerechnet damit kannst du dann eine Aussage treffen.
Der im Video beschriebene 3. Fall bleibt dir erspart :)   ─   smileyface 12.05.2020 um 18:52
Wie hast du das durchgerechnet? Bei mir kommt da bei den Hauptminoranten nur 2 mal 0 raus..   ─   thalgaugang1 12.05.2020 um 20:51
Oh entschuldige bitte. Ich bin wohl gestern auf die Schnelle in der Zeile verrutscht. Die Ergebnisse für die Hauptminoren stimmen.
Eine Möglichkeit die du z.B. noch hast wäre es das Ganze geometrisch zu betrachten. Ich werde mich nachher nochmal dran setzten und melde mich dann nochmal.   ─   smileyface 13.05.2020 um 09:24
Aber, wenn es 0 ist, dann wäre es ja irgendwie indefinit und erst wieder kein Minimum?...
danke! :)   ─   thalgaugang1 13.05.2020 um 11:37
Okay ich hab mich nochmal schlau gemacht:

Prinzipiell könnte man hier glaube einfacher über den Definitionsbereich der Funktion argumentieren.



Ziel der Aufgabe ist es ja, dass Minimum der Schnittmenge aus Wertebereich deiner Funktion f und Wertebereich deiner Nebenbedingung zu bestimmen.

Da die gängigen Nachweisverfahren für Minima/Maxima hier nicht angewendet werden können, ließe sich hier eventuell über den Definitionsbereich der Funktion argumentieren. Sowohl das Objekt, welches durch die Nebenbedingung gegeben ist, als auch die Funktion sind nach oben unbeschränkt. Durch diese Unbeschränktheit existiert kein Maximum und man könnte folgern, dass der errechnete Punkt dem Minimum entsprechen würde.

(Inwiefern das ausreichend ist als Begründung weiß ich leider nicht. Entschuldige bitte, dass ich dir nicht wirklich weiterhelfen konnte.)   ─   smileyface 13.05.2020 um 13:14

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