Zu 1) Mir ist leider nichts zur Eindeutigkeit der Darstellung bekannt. Aber ich kann etwas zur Konstruktion von \(a\) und \(b\) sagen. Es gibt ja mittlerweile mehrere Beweise dieses Satzes, unter anderem gibt es einen sehr schönen geometrischen Beweis. Für \(p\) sucht man sich zunächst eine Zahl \(n\), sodass \(n^2 \equiv -1 \mod p\) ist. Dann zeichnet man in einem Koordinatensystem das Gitter ein, das von den Punkten \((p,0)\) und \((n,1)\) aufgespannt wird. Außerdem zeichnet man einen Kreis um den Ursprung mit Radius \( \sqrt{2p} \). Es gibt dann (mindestens) einen nicht-tivialen Punkt \((a,b)\), der innerhalb des Kreises liegt und das liefert eine Lösung, also es gilt \(p=a^2+b^2\).

Zu 2) Die Aussagen "\(p\) ist das \(c\) in einem pythagoreischen Tripel" und "\(p\) ist als Summe zweier Quadrate darstellbar" sind äquivalent. Die erste Aussage erscheint mir aber umständlicher, wenn man bedenkt, dass es einen Beweis zur zweite Aussage (also zum Zwei-Quadrate-Satz von Fermat) gibt, der nur einen Satz lang ist.