Partitionierung einer Primzahl der Form 4*n+1 in die Summe von zwei Quadratzahlen

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Fermat hat einmal behauptet, dass Primzahlen der Form 4*n+1 als Summe von zwei Quadratzahlen dargestellt werden können. Euler hatte es bewiesen. Meine Fragen:

1. Kann jeder dieser Primzahlen nur eine Partitionierung zugewiesen werden oder gibt es auch die Möglichkeit, dass p=(a1)²+(b1)²=(a2)²+(b2)²? Wobei a1\=a2 und b2\=b2 ist. Können (a1)² und (b1)² mit der vorgegebenen Primzahl errechnet werden?

2.Ist jede Primzahl der Form 4*n+1 auch ein 'c' in einem ppT, für das a²+b²=c² gilt? Wenn das stimmt, hat Fermat recht.

Hoffentlich habe ich alles eindeutig dargestellt.

 

gefragt vor 2 Wochen, 5 Tage
r
reineke.d,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Zu 1) Mir ist leider nichts zur Eindeutigkeit der Darstellung bekannt. Aber ich kann etwas zur Konstruktion von \(a\) und \(b\) sagen. Es gibt ja mittlerweile mehrere Beweise dieses Satzes, unter anderem gibt es einen sehr schönen geometrischen Beweis. Für \(p\) sucht man sich zunächst eine Zahl \(n\), sodass \(n^2 \equiv -1 \mod p\) ist. Dann zeichnet man in einem Koordinatensystem das Gitter ein, das von den Punkten \((p,0)\) und \((n,1)\) aufgespannt wird. Außerdem zeichnet man einen Kreis um den Ursprung mit Radius \( \sqrt{2p} \). Es gibt dann (mindestens) einen nicht-tivialen Punkt \((a,b)\), der innerhalb des Kreises liegt und das liefert eine Lösung, also es gilt \(p=a^2+b^2\).

Zu 2) Die Aussagen "\(p\) ist das \(c\) in einem pythagoreischen Tripel" und "\(p\) ist als Summe zweier Quadrate darstellbar" sind äquivalent. Die erste Aussage erscheint mir aber umständlicher, wenn man bedenkt, dass es einen Beweis zur zweite Aussage (also zum Zwei-Quadrate-Satz von Fermat) gibt, der nur einen Satz lang ist.

geantwortet vor 2 Wochen, 5 Tage
g
anonym
Student, Punkte: 1.5K
 

Ich danke Dir für Deine Antwort. Um es ganz zu verstehen, brauche ich noch ein bißchen Zeit.   -   reineke.d, vor 2 Wochen, 4 Tage

Gerne :) Wenn du noch fragen dazu haben solltest, kannst du sie immer gern stellen. Im Allgemeinen ist der Zwei-Quadrate-Satz aber nicht besonders schwer. Man braucht halt nur ein paar mathematische Grundlagen. (Und man sollte sich nicht unbedingt den komplizierten Beweis von Euler anschauen, sondern eher einen der einfacheren Beweise)   -   anonym, vor 2 Wochen, 4 Tage

Und wenn ich an dieser Stelle mal eine Empfehlung aussprechen darf: Es gibt sehr anschauliche YouTube-Videos zu dem Thema, beispielsweise das hier https://www.youtube.com/watch?v=u7XZDniQEj4   -   anonym, vor 2 Wochen, 4 Tage

Der Gedanke, dass mit der Primzahl (über die Addition) zwei Quadratzahlen fest verbunden sind, dass die beiden
q-Zahlen wie ein Fingerabdruck der Primzahl sind ist für mich neu und einfach erstaunlich. Ich musste an die eindeutige Primfaktorenzerlegung von natürlichen Zahlen denken. Weiß jemand, welche Eigenschaften mit Primzahlen der Form 4*n-1 verbunden sind?
  -   reineke.d, vor 2 Wochen, 3 Tage

Mir ist wie gesagt keine Eindeutigkeitsaussage zum Zwei-Quadrate-Satz bekannt. Demnach könnte es durchaus sein, dass man einer Primzahl der Form \(4n+1\) auch zwei oder mehr Darstellungen zuordnen kann. Also würde ich diese Zuordnung nicht als einen "Fingerabdruck der Primzahl" bezeichnen. Erstaunlich ist dieser Satz natürlich trotzdem.
Zu den Primzahlen der Form \(4n-1\) gibt es sehr viele bekannte Eigenschaften. Aus dem Zwei-Quadrate-Satz (der ja besagt, dass sich solche Primzahlen nicht als Summe zweier Quadrate schreiben lässt), folgt zum Beispiel die Eigenschaft, dass solche Primzahlen auch im Gaußschen Zahlenring \( \mathbb{Z}[i] \) Primelemente sind. Primzahlen der Form \(4n+1\) zerfallen hingegen im Gaußschen Zahlenring, sind dort also keine Primelemente mehr.
  -   anonym, vor 2 Wochen, 3 Tage

Warum ich auf diese Idee gekommen bin: Mir fiel auf, dass es Quadratzahlen gibt, die in zwei verschiedene Partitionen von Quadratzahlen zerlegt werden können. 65²=16²+63²; 65²=33²+56²; 85²=13²+84²; 85²=36²+77²; Es gibt auch 4 partitionierbare Quadratzahlen: 1105²=576²+943²=744²+817²=47²+1104²=264²+1073². Eine Zahl wie 1185665² lässt sich in 16 verschiedenen Partitionen von Quadratzahlen (a²+b²) darstellen. 65=5*13; 85=5*17;
1105=5*13*17; 1185665=5*13*17*29*37; Es scheint von der Anzahl der verschiedenen Primfaktoren abzuhängen?
  -   reineke.d, vor 2 Wochen, 1 Tag

Die Anzahl der nicht-trivialen Darstellungen von \(n^2\) als Summe zweier Quadrate ist stets gleich der Anzahl der nicht-trivialen Darstellungen von \(n\) als Summe zweier Quadrate. Das folgt unmittelbar aus der Lösungsformel für pythagoreische Tripel. Inwiefern diese Anzahl von den Primfaktoren von \(n\) abhängt, kann ich nicht sagen. Für die Darstellungen einer Zahl als Summe von vier Quadratzahlen ist jedenfalls die Teilersumme entscheidend (Satz von Jacobi).   -   anonym, vor 2 Wochen, 1 Tag
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