Algebra diedergruppe symmetriegruppe isomorph

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warum ist die Diedergruppe D2n isomorph zur symmetrischen gruppe S3?

Beide sind nicht abelsch.

 

für n=3

 

gefragt vor 1 Woche, 2 Tage
m
mathe92x,
Student, Punkte: 146
 

D2n? Für beliebiges n? Oder für n = 3?   -   digamma, verified vor 1 Woche, 2 Tage

n=3   -   mathe92x, vor 1 Woche, 2 Tage
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1 Antwort
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Die Diedergruppe ist im Allgemeinen nur eine Untergruppe der entsprechenden symmetrischen Gruppen. Bei n= 3 sind die beiden Gruppen jedoch gleich, weil sich jede Permutation der Ecken eines Dreiecks durch eine Drehung oder eine Spiegelung des Dreiecks realisieren lässt.

geantwortet vor 1 Woche, 2 Tage
d
digamma verified
Lehrer/Professor, Punkte: 5.5K
 

Kann ich das also so begründen:

Die Diedergruppe hat dir Ordnung 6. Nach Satz von Cayley ist jede Gruppe endlicher Ordnung isomorph zu den Untergruppen von Sn. Da jede Gruppe G als Untergruppen (eG) und G besitzt, können wir sagen, dass die Diedergruppe n=3 isomorph zu S3 ist?
  -   mathe92x, vor 1 Woche, 2 Tage

Ich denke schon.   -   digamma, verified vor 1 Woche, 2 Tage

Den letzten Satz versteh ich nicht.
Allein cayley führt nicht zum Ziel.
(cayley gibt dir in seinem beweis nur einen isom zu einer ug von S_6)
Du müsstest jetzt noch einen isomorphismus angeben, von D_3 zu S_3. Entweder geometrisch wie digamma das vorgeschlagen hat oder halt durch Abbildung auf die Matrizen.
Ich glaube nicht, dass ihr in der VL schon besprochen habt dass sich D_n immer in S_n (für n>=3) einbetten lässt, oder? Sonst wäre die Aufgabe zu einfach.
  -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 1 Woche, 2 Tage

Nein haben wir nicht besprochen.
Wie zeige ich allgemein bei nicht abelschen gruppen die Isomorphie ?
  -   mathe92x, vor 1 Woche, 1 Tag

naja wie gesagt durch angeben eines isomorphismus
geometrisch besteht ja S_3 aus allen symmetrieabbildungen eines dreiecks (überleg dir das kurz), also ist S_3 isomorph zu Sym(Dreieck)
um isomorphie von S_3 zu D_3 zu zeigen, reicht also schon eine abbildung, die die elemente von D_3 auf drehungen und spiegelungen vom dreieck abbildet. wegen des vorherigen (sehr natürlichen) isomorphismus hat man dann isomorphie zu S_3.
bei der abbildung zu Sym(dreieck) musst du eigentlich nur darauf achten, dass alle elemente ihr ordnung beibehalten (wenn gruppen isomorph sind, haben die jeweils isomorphen elemente immer gleiche ordnung, wieso?)
da D_3 zwei erzeuger hat, reich es schon deren bild festzulegen. wenn du alles beachtest sollte am ende ein isomorphismus rauskommen - schreib erstmal wie du die abbildung konstruieren würdest, danach kann man ja noch darüber reden ob das dann wirklich ein isomorphismus ist
  -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 1 Woche, 1 Tag

Ist nicht D3 definiert als die Symmetriegruppe eines Dreiecks? Wenn nicht, dann sollte zumindest diese Darstellung bekannt sein. Es reicht also, zu zeigen, dass S3 auch die Symmetriegruppe eines Dreiecks ist.   -   digamma, verified vor 1 Woche, 1 Tag

normalerweise definiert man D_n als gruppe von bewegungen im R^2, die erzeugt wird durch: {drehung um 2pi/n, spiegelung}
obwohl das natürlich theoretisch für n=3 das gleiche ist wie du gesagt hast, aber das müsste man natürlich erstmal zeigen. angenommen das wäre in der VL aber schon gezeigt worden, käme mir die aufgabe etwas zu einfach vor..
man könnte sich jetzt natürlich drüber streiten ob es schwerer bzw einfacher ist die isomorphie von S_3 zu Sym(dreieck) oder von D_3 zu Sym(dreieck) zu zeigen - ich geh aber davon aus dass hier beides irgendwie gemacht werden müsste (oder natürlich man nimmt den direkten weg)
  -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 1 Woche, 1 Tag
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