Folge konvergieren?

Aufrufe: 603     Aktiv: 21.05.2020 um 18:48
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Moin,

ich verstehe die Aufgabenstellung, aber wiess nicht wie das formal aussehen soll.

In der Vorlseung gabs dazu nichts. Die Aufgabe ist:

Zeigen sie: Ist \( a_{n} >= 0\) und konvergiert die Folge \((a_{n})\) gegen a, so konvergiert die Folge \( (\sqrt{a_{n}}) \) gegen \( (\sqrt{a_{}}) \) 

 

Wie beweist man das? Kann mir jemand helfen? :(

 

 

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Wenn a_n gegen a konvergiert, dann existiert für jedes eps>0 ein N, sodass |a_n-a|<eps.
Wähle nun eps>0 beliebig. Angenommen, sqrt(a_n) konvergiert nicht gegen sqrt(a), also existiert für jeden Index N ein M>N, sodass |sqrt(a_M)-sqrt(a)|>eps. Quadriert man die Ungleichung, so ergibt sich: eps<a_M+a-2*a_M*a. Nun können wir die Konvergenz von a_n benutzen und den Ausdruck auf der rechten Seite beliebig klein machen, indem wir N groß genug wählen. Hilft das?

 
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