Die homogene Version lässt sich mit den Eigenvektoren lösen (siehe Video):

\(y_1(x)=c_1e^{4x}+c_2e^{2x}\\y_2(x)=c_1e^{4x}-c_2e^{2x}\)

für die partikuläre Lösung suchen wir nun eine Lösung von der Form

\(y_1(x)=ax+b+c\sin(x)+d\cos(x)\\y_2(x)=ex+f+g\sin(x)+h\cos(x)\)

daraus erhalten wir

\(y_1'(x)=a+c\cos(x)-d\sin(x)\\y_2'(x)=e+g\cos(x)-h\sin(x)\)

und

\(3y_1(x)+y_2(x)+\cos(x)=(3a+e)x+(3b+f)+(3c+g)\sin(x)+(3d+h+1)\cos(x)\\y_1(x)+3y_2(x)+x=(a+3e+1)x+(b+3f)+(c+3g)\sin(x)+(d+3h)\cos(x)\)

mit Koeffizientenvergleich:

\(3a+e=0\\a+3e+1=0\\3b+f=a\\b+3f=e\\3c+g=-d\\c+3g=-h\\3d+h+1=c\\d+3h=g\)

Insgesamt bekommt man so:

\(y_1(x)=c_1e^{4x}+c_2e^{2x}+\frac18 x+\frac{3}{32}+\frac{11}{85}\sin(x)-\frac{27}{85}\cos(x)\\y_2(x)=c_1e^{4x}-c_2e^{2x}-\frac{3}8x-\frac{5}{32}-\frac{6}{85}\sin(x)+\frac{7}{85}\cos(x)\)

als Lösung.