Eine Gerade \(f(x)=ax+b\) im Sinne der Analysis lässt sich in eine Gerade \( \vec y= \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} + x \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix} \) im Sinne der analytischen Geometrie umschreiben. Die Geraden \( f(x)=ax+b \) und \(g(x)=cx+d\) sind genau dann orthogonal, wenn die zugehörigen Geraden im analytisch-geometrischen Sinne orthogonal sind. Dies ist der Fall, wenn die Richtungsvektoren \( \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 1 \\ c \end{pmatrix} \) senkrecht aufeinander stehen, also wenn \( 1 + ac = \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ b \end{pmatrix} = 0 \) ist.

Hallo laila.

Stelle dir zwei beliebige orthogonale Geraden vor. Ich habe dir die Situation einmal aufgezeichnet.

Du kannst nun mit Hilfe der Steigungsdreiecke, ganz leicht die Steigungen der beiden Geraden bestimmen. Es gilt:

\(m_1=\dfrac{\Delta y}{\Delta x_1}\)

\(m_2=\dfrac{-\Delta y}{\Delta x_2}\)

Außerdem gilt:

\(\tan \alpha=\dfrac{\Delta x_1}{\Delta y}=m_1\) für das blaue Steigunsgdreieck

\(\tan \alpha =\dfrac{\Delta y}{\Delta x_2}=-\dfrac{1}{m_2}\) für das blaue Steigungsdreieck

Nun kannst du die beiden \(\tan \alpha\) gleichsetzen und erhälst:

\(m_1=-\dfrac{1}{m_2}\rightarrow m_1\cdot m_2=-1\)

Grüße