Question

Koordinatengleichung und parallel

Aufrufe: 929 Aktiv: 11.06.2020 um 22:19

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Bestimmen Sie eine koordinatengleichung der Ebene E, die durch P(1|-2|3) verläuft und außerdem parallel zu...

a) der Ebene F mit F:x = (4,0,2) + r*(2,-1,0) + s*(-3,0,-2); r,s E IR liegt)

b) der x1 x2 Ebene liegt.

c) den Geraden g und h mit g:x = (0,2,4) + r* (0,5,0); r E IR und h:x= (1,-2,0) + s*(0,0,1) s E IR liegt. Spannen g und h eine Ebene auf?

Meine folgenden Ansätze wären bei a), dass ich punkt p, als Stützvektor nehme und die Richtungsvektoren(RV) einfach übernehme, könnte man das auch mit den N vektor überprüfen bzw. beweisen? Das hatte ein Kumpel gemacht, aber ich habe das nicht wirklich verstanden... für b dachte ich mir das ich den Punkt P natürlich wieder nehme und als Richtungsvektoren x1 und x2 0 sein müssen damit sie parallel zu Ebene sind und mir x3 frei aussuchen kann, in dem Falle nahm ich 1 damit man damit besser rechnen kann. Bei C dachte ich mir das man auch wieder p nehmen muss, aber da wusste ich leider nicht weiter?

Kann mir da helfen wie ich eine Ebene Parallel zu zwei geraden mache? und wie kann ich wissen, dass beide eine Ebene aufspannen?

liebe Grüße !!

vielen Dank für die Hilfe!!

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gefragt 11.06.2020 um 21:58

inthelab
Schüler, Punkte: 40

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1 Antwort

1+2=3 · Answer 1 · 2020-06-11T22:19:13Z

Hallo inthelab.

Deine Ansätze bei \(a)\) und \(b)\) sind an sich nicht verkehrt und führen zum richtigen Ergebnis. Jedoch musst du deine Ebenen ja noch in die Koordinatenform umformen.

Deswegen macht man es, wie dein Kumpel es auch getan hat, typischerweise direkt über die Koordinatenform bzw. den Normalenvektor. Die Allgemeine Koordinatengleichung lautet: \(E: \ \ a\cdot x_1+b\cdot x_2 +c \cdot x_3 = d \ \). Dabei sind \(a,b,c,d\) reelle Zahlen. Das praktische ist nun, dass sich \(alle\) parallelen Ebenen nur bei der Zahl \(d\) unterscheiden. Der Rest ist gleich. \(a,b,c\) sind die Komponenten deines Normalenvektors und der ist ja für parallele Ebenen gleich.

Willst du nun also eine zu einer anderen Ebenen parallele Ebene erstellen brauchst du dafür den Normalenvektor. Diesen setzt du dann in die obige allgemeine Form ein und berechnest mit Hilfe deines Punktes \(P\) die Konstante \(d\).

Für \(b)\) kannst du deine Ebenengleichung direkt aus dem Kopf aufstellen: Aus dem Normalenvektor folgt: \(x_3=d\) wobei \(d\) die \(x_3\) Komponente deines Punktes \(P\) ist.

Im Allgemeinen spannen zwei Vektoren eine Ebene auf, wenn sie nicht kollinear sind. Gleiches lässt sich auch auf Geraden übertgragen. Dabei müssen sich die Geraden natürlich noch schneiden. Um nun die zu den Geraden parallele Ebene zu bestimmen gehst du am besten wieder direkt über die Koordinatenform. Dafür brauchst du den Normalenvektor der Ebene. Dieser ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden. Diesen setzt du dann in die allgemeine Form ein und berechnest mit Hilfe deines Punktes das \(d\).

Grüße