Hallo inthelab.
Deine Ansätze bei \(a)\) und \(b)\) sind an sich nicht verkehrt und führen zum richtigen Ergebnis. Jedoch musst du deine Ebenen ja noch in die Koordinatenform umformen.
Deswegen macht man es, wie dein Kumpel es auch getan hat, typischerweise direkt über die Koordinatenform bzw. den Normalenvektor. Die Allgemeine Koordinatengleichung lautet: \(E: \ \ a\cdot x_1+b\cdot x_2 +c \cdot x_3 = d \ \). Dabei sind \(a,b,c,d\) reelle Zahlen. Das praktische ist nun, dass sich \(alle\) parallelen Ebenen nur bei der Zahl \(d\) unterscheiden. Der Rest ist gleich. \(a,b,c\) sind die Komponenten deines Normalenvektors und der ist ja für parallele Ebenen gleich.
Willst du nun also eine zu einer anderen Ebenen parallele Ebene erstellen brauchst du dafür den Normalenvektor. Diesen setzt du dann in die obige allgemeine Form ein und berechnest mit Hilfe deines Punktes \(P\) die Konstante \(d\).
Für \(b)\) kannst du deine Ebenengleichung direkt aus dem Kopf aufstellen: Aus dem Normalenvektor folgt: \(x_3=d\) wobei \(d\) die \(x_3\) Komponente deines Punktes \(P\) ist.
Im Allgemeinen spannen zwei Vektoren eine Ebene auf, wenn sie nicht kollinear sind. Gleiches lässt sich auch auf Geraden übertgragen. Dabei müssen sich die Geraden natürlich noch schneiden. Um nun die zu den Geraden parallele Ebene zu bestimmen gehst du am besten wieder direkt über die Koordinatenform. Dafür brauchst du den Normalenvektor der Ebene. Dieser ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden. Diesen setzt du dann in die allgemeine Form ein und berechnest mit Hilfe deines Punktes das \(d\).
Grüße
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