Beweisen Sie, dass es genau einen nicht-trivialen Untermodul von M_A gibt!!

Aufrufe: 82     Aktiv: vor 3 Wochen, 5 Tage

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Moin Moin , ich habe diese als zusatz-Aufgabe. Ich bekomme die richtige Antwort nicht ganz klar .

Ich brauche eure Hilfe!

Vielen Dank im Voraus!

 

gefragt vor 4 Wochen
inaktiver Nutzer

 

Nur eine Idee: Es gibt einen nichttrivialen Unterraum von `R^2`, der unter A invariant ist, nämlich der, der von `e_1` aufgespannt wird. Das sieht mir nach einem Kandidaten für einen Untermodul aus.   -   digamma, verified vor 4 Wochen
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1 Antwort
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Eine Teilmenge ist ein Untermodul, wenn sie abgeschlossen ist unter der Addition und unter der Multiplikation mit einem Ringelement. Das musst du nachweisen. Der Ring enthält insbesondere die reellen Zahlen, also muss die Menge unter skalarer Multiplikation mit reellen Zahlen abgeschlossen sein, also ein Untervektorraum des `RR^2` sein.

Der Polynomring enthält außerdem die Unbestimmte `X`. Die Skalar-Multiplikation mit Polynomen ist so definiert, dass die Abbildung `A` in das Polynom eingesetzt wird und die lineare Abbildung, die dadurch entsteht, auf den Vektor angewendet wird. Also muss die Menge invariant (abgeschlossen) sein unter der Anwendung von `A`. Aus der Form der Abbilung `A` ergibt sich, dass es nur einen nichttrivialen Unterraum gibt, der invariant ist unter `A`, nämlich den Eigenraum zum Eigenwert 1. Dies ist der Untervektorraum, der aus allen Vektoren der Form `((r),(0))`  mit `r in RR` besteht.

geantwortet vor 3 Wochen, 5 Tage
d
digamma verified
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