Darstellungsmateix bestimmen

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Hallo Leute,

hätte jemand vielleicht Lust mir für diese Aufgabe das Kochrezept/Rechenweg, wie ich es am besten schrittweise lösen soll, zu geben?

Lg 

 

gefragt vor 3 Wochen, 3 Tage
k
kamil,
Student, Punkte: 273

 
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2 Antworten
1

Hallo,

Die intuitiven Vektorräume sind der \( \mathbb{R} , \mathbb{R}^2 \) und \( \mathbb{R}^3 \), denn in denen beschreiben wir Bewegungen unserer Anschauung.

Die Elemente dieser Vektorräume können wir uns als Pfeile vorstellen. Wenn wir mathematisch solche Objekte unserer Anschauung beschreiben, kann es aber sein das sich Objekte finden die ebenfalls diese mathematische Struktur erfüllen aber uns nicht direkt etwas liefert das man sich gut vorstellen kann. 

Solche Objekte sind zum Beispiel auch bestimmte Funktionen. Es gibt wie in der anderen Frage gesagt den Raum der stetigen Funktion auf dem Intervall \( [a,b] \) (\( \mathcal{C}[a,b] \)). Es gibt den Raum der stetig n-mal differenzierbaren Funktionen die auch einen Vektorraum bilden \( \mathcal{C}^n \). Ein weiterer Funktionentyp die einen Vektorraum aufspannen sind Polynome vom Grad kleiner gleich \( n \), nämlich den \( \mathcal{P}_n \).

Doch was bringt uns das, dass diese Funktionen die mathematische Idee eines Vektorraums erfüllen?

Vor allem in den Bereichen Numerik oder Funktionalanalysis werden die Methoden der linearen Algebra genutzt um Funktionen auf bestimmte Eigenschaften zu untersuchen. 

Wir können beispielsweise eine Basis nutzen um bestimmte Eigenschaften nachzuweisen und dann die Linearkombination dieser Basisvektoren nutzen um leicht zu zeigen das diese Eigenschaften für alle Funktionen dieses Funktionenraums (Vektorraums) gelten.

Bei der Interpolation von Funktionen werden auch besonders gut geeignete Basispolynome genutzt um diese so zu drehen , so zu projezieren oder ähnliches damit wir ein Polynom erhalten das besonders gut den Verlauf durch gegebene Stützstellen beschreibt.

Ok das am Rande. Nun sind lineare Abbildungen, Abbildungen von einem Vektorraum in einen anderen Vektorraum. Deshalb existieren auch lineare Abbildungen die von einen Funktionenraum in einen anderen Vektorraum abbilden. Was diese Abbildung bedeutet sei jetzt erstmal dahingestellt :p

Jede lineare Abbildung kann durch eine Matrix beschrieben werden. Die Abbildungsmatrix hängt von der Basis ab, von der wir und in die wir abbilden. Das heißt zwei unterschiedliche Matrizen können die selbe Art von Abbildung beschreiben bzgl einer anderen Basis (solche Matrizen nennt man übrigens ähnlich zueinander). 

Eine Abbildung \( \varphi : V \to W \) mit der Basis \( \mathcal{A} \) von \( V \) und \( \mathcal{B} \) von \( W\) beschreibt man durch die Abbildungsmatrix \( \mathcal{l}_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{A}} \). 

Eine Abbildungsmatrix hat als Spalten die Bildvektoren der Basiselemente von \( \mathcal{A} \) bezogen auf die Basis \( \mathcal{B} \). 

Ist dir das klar?

Nun gucken wir uns erstmal an wie so ein Polynom als Vektor dargestellt werden kann. Wir betrachten den Vektorraum der Polynome von Grad kleiner gleich \( 3 \) (\(\mathcal{P}_3 \)) mit der Basis

$$ \mathcal{B} := \{ 1 ,x ,x^2 ,x^3 \} $$

Betrachten wir jetzt mal beispielsweise das Polynom

$$ p(x) = 2x^3 - 3x + 2 $$

Siehe diese Form als Linearkombination der Basisvektoren an. Wie könnte dieses Polynom als Vektor aussehen?

Dann überlege dir einmal zuerst, wie dieses Polynom durch \( l \) abgebildet wird. 

Nun kannst du jeden Basisvektor der Basis \( \mathcal{B} \) durch \( l \) abbilden. Wie sehen diese Bilder aus?

Wie sehen diese Bilder als Linearkombination der Basis

$$ \mathcal{C} := \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\  1 \end{pmatrix} \right\} $$

aus? 

Nun musst du nur noch die Bilder als Spalten in die Matrix einsetzen und erhälst deine Abbildungsmatrix.

Versuch dich mal. Wenn du irgendwo nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian 

geantwortet vor 2 Wochen, 6 Tage
christian_strack verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 23.43K
 

Danke, ich habe jetzt einfach mal angefangen, das so zu lösen, wie ich es verstanden habe. Erstmal mit den Polynomen, dann die eigentliche Aufgabe. Ich würde sagen, ich mache das Bild der Rechnung der eigentlichen Aufgabe.

Ich habe die Bilder raus bekommen. Was ich noch nicht verstehe ist, wie ich die Bilder als Linearkombinantion der Basis C darstellen soll. Wie das gemeint ist.

Rechnung habe ich als Bild beigefügt.

Liebe Grüße

Kamil
  -   kamil, vor 2 Wochen, 5 Tage

Ja genau die Matrix ist richtig :)

War vielleicht etwas missverständlich mit der Linearkombination weil hier die Standardbasis gewählt wurde. Wäre beispielsweise die Basis
$$ \mathcal{D} = \left\{ \underset{\vec{d}_1}{\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}} , \underset{\vec{d}_2}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} , \underset{\vec{d}_3}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \right\} $$
und wir würden uns das Bild von
$$ 1 x^0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
angucken, hätten wir
$$ l(x^0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac 1 2 \vec{d}_1 + \frac 1 2 \vec{d}_2 + 1\vec{d}_3 $$
und die erste Spalte der Matrix wäre
$$ \left( \begin{matrix} \frac 1 2 \\ \frac 1 2 \\ 1 \end{matrix} \ \ldots \right) $$

Grüße Christian
  -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 5 Tage

Die Matrix ist richtig, das ist gut.

Mir ist leider hier mit der Basis noch nicht ersichtlich, wie man auf die Koeffizienten vor den d's kommt (1/2; 1/2; 1) und wie das mit 1*x^0 zusammenhängt. 🤓
  -   kamil, vor 2 Wochen, 4 Tage

Wir können mittels Linearkombination alle Vektoren aus einem Vektorraum durch die Basis darstellen. Da wir zudem eine lineare Abbildung haben, reicht es zu überprüfen was die Abbildung mit unseren Basisvektoren anstellt um zu wissen wie die Abbildung allgemein abbildet.
Ist das soweit klar?

Deshalb setzen wir jetzt nach und nach die Basisvektoren in unsere Abbildung ein. Wir haben die Basis
$$ \mathcal{B} = \left\{ x^0 , x^1 , x^2 , x^3 \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
Ist dir klar warum die Monome diesen Vektordarstellungen entsprechen?

Wir könnten auch die Basis
$$ \mathcal{E} = \left\{ 1 , x+1 , x^2 + x , x^3 \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
wählen. Dann müssten wir diese Basisvektoren in unsere Abbildung einsetzen und die Bilder berechnen.

So nachdem wir nun wissen wie die Abbildung unsere Basisvektoren abbildet, müssen wir diese Bilder noch auf unsere Basis im Zielraum anpassen. Wenn wir die Standardbasis (in der Aufgabe mit \( \mathcal{C} \) bezeichnet) haben, haben wir die Bilder direkt bzgl der Basis im Zielraum dargestellt. Wenn diese allerdings nicht die Basis des Zielraums ist, müssen wir die Bilder noch bzgl der richtigen Basis darstellen.
Als Beispiel nehmen wir mal den Basisvektor
$$ \vec{e}_2 = x+1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Wenn wir diesen in die Abbildung werfen, erhalten wir das Bild
$$ l(\vec{e}_2) = \begin{pmatrix} 1+1 \\ 0 \\ 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} $$
bzgl der Basis \( \mathcal{C} \), der Standardbasis des \( \mathbb{R}^3 \), erhalten wir die Linearkombination
$$ l(\vec{e}_2) = 2 \vec{c}_1 + 0 \vec{c}_2 + 3 \vec{c}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} $$
es verändert sich also nichts.
Bzgl. der Basis \( \mathcal{D} \) erhalten wir aber eine andere Linearkombination:
$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Bzgl der Basis \( \mathcal{D} \) hat unser Bildvektor somit die Gestalt
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} $$
also als Einträge die Koeffizienten der Linearkombination. Und genau dieser Vektor ist dann der zweite Spaltenvektor unserer Matrix (der zweite, weil wir den zweiten Basisvektor von \( \mathcal{E} \) eingesetzt haben).

Wenn du willst, bestimme mal als Übung die komplette Abbildungsmatrix \( l_{\mathcal{D} \leftarrow \mathcal{E}} \). Ich gucke gerne nochmal drüber.

Grüße Christian
  -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 3 Tage

Die Vektordarstellung der Monome ist mir klar. Für x₀ z.B. brauche ich nur 1 von x₀ und die übrigen Einträge sind 0, da ich nichts von denen brauche. Das gleiche mit x₁. Nur diesmal ist der zweite Eintrag der Spalte 1, die übrigen 0. Das sind die Basisvektoren der Monome.

Ich denke mir ist das Prinzip jetzt klar geworden. Vor allem jetzt auch, dass man an die Koeffizienten mit Gauß-Verfahren rankommt.

Die Abbildungsmatrix als Übung habe ich bestimmt. Kann ja nicht schaden😁
Ich habe zwei Bilder der Rechnung beigefügt.

Vielen dank nochmal. Jetzt verstehe ich es besser

Liebe Grüße

Kamil
  -   kamil, vor 2 Wochen, 3 Tage

Dir ist ein ganz kleiner Rechenfehler passiert
$$ \vec{e}_3(2) = 2^2 + 2 = 6 $$
und somit
$$ l(\vec{e}_3) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} $$
Damit wir die dritte Spalte zu
$$ \left( \ldots \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{matrix} \ldots \right) $$
Aber ansonsten alles richtig! :)

Sehr gerne. Freut mich das ich helfen konnte :)

Grüße Christian
  -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 2 Tage

Diese Notation verstehe ich nicht ganz: d3(2). Dass 6 rauskommt, ist mir klar. Aber müsste es nicht l(e3) heißen? In deiner vorherigen Nachricht hast du auch e2 in l eingesetzt (l(e2)). Wieso jetzt d3(2)? Was heißt diese Notation? 😃   -   kamil, vor 2 Wochen, 2 Tage

oh ja da habe ich mich vertippt. Du hast absolut recht das es \( \vec{e}_3 \) sein müsste. :)
Gut aufgepasst :p Habe es korrigiert :)
  -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 2 Tage

Dankeschön! ;) Jetzt haben wir es. Wenn man weißt, was man tut, macht das gleich mehr Spaß. Danke für die Erklärungen.

Hier habe ich 2 ähnliche Fragen, aber doch irgendwie anders. :D Falls du mal irgendwann wieder Tipps geben könntest, wie hier, könnte ich weiter machen, die Hilfe muss nicht sofort sein. Ich glaube keiner hilft mir so gut wie du xD

Fragen:

https://www.mathefragen.de/frage/20808/l-3b21b3-als-linearkombination-von-vektoren-eingeben/

https://www.mathefragen.de/frage/20804/darstellungsmatrix-invertieren/
  -   kamil, vor 2 Wochen, 2 Tage

Sehr gerne :)
Ja Mathematik kann wirklich eine Menge Spaß machen solange man versteht was man da überhaupt macht. :D
Leider geht bei vielen durch schlechte Lehrer das Verständnis schon früh verloren und deshalb ist Mathe auch so "verpönnt".

Das freut mich sehr zu hören.
Ich gucke gleich mal in die Fragen :)
  -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 2 Tage

https://www.mathefragen.de/frage/20876/transformationsmatrix-bestimmen/

https://www.mathefragen.de/frage/20871/zweite-lineare-abbildung-der-darstellungsmatrix-bestimmen/

Danke. Ich komme echt nicht weiter. Ich glaube, ich habe mit der Notation/Bedeutung der Schreibweise die meisten Probleme
  -   kamil, vor 2 Wochen, 2 Tage
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Geucht ist also \(D\) mit \(l(p)=D p\) für alle Polynome \(p\in P^3\).

Die Matrix \(D\) wird \(3\times 4\). Lies erst weiter, wenn Dir das klar ist.

Jedes \(p\) lässt sich schreiben als \(p = \sum\limits_{i=0}^3\lambda_i m_i\). Du berechnest dafür \(l(p)\) nach Definition (Summe ausschreiben), das wird ein Vektor aus R^3 mit Linearkombinationen von lambda's in der ersten und dritten Koordinate. Daraus liest Du \(D\) ab.

Und nun los, Schritt für Schritt. Ggf. nachfragen unter Angabe, wo Du stehst.

geantwortet vor 3 Wochen, 3 Tage
m
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 2.03K
 

Ich weiß immer noch nicht, was zu was gehört und was die Aufgabe von mir will. 😄Ich habe die Summe ausgeschrieben. Was als nächstes?

Die Angabe wo ich stehe ist in Bildern
  -   kamil, vor 3 Wochen, 2 Tage

Es geht um eine lineare Abb., deren Matrix gesucht ist. Ist das klar? Warum ist D 3x4? Und natürlich setzt man ein, was in der Aufgabe steht.   -   mikn, vor 3 Wochen, 2 Tage

Ja, eine Matrix von B nach C. Warum D 3x4 ist mir aber nicht klar, ich weiß nicht wie das ganze zu lesen ist. Da steht, dass p "3" Einträge hat. Wieso hat die Monombasis davon dann 4 Einträge, sprich m₀,...m₃?

Man setzt p(1) und p(2) ein. Was ist denn mein p? Ich habe die Summe ausgeschrieben. Soll ich jetzt einmal 1 und 2 für p einsetzen, aber für was? Für Lamda?
  -   kamil, vor 3 Wochen, 2 Tage

Dein Verständnis hat noch Luft nach oben. Ich sehe nichts von B und C in der Aufgabe. Und auch nicht, dass p drei Einträge hat. Mach Dir erstmal die Begriffe klar (Vektorraum, Matrix, lin. Abb., Basis. Dann (erst dann!) kann es weiter gehen, denn diese Aufgabe setzt darauf auf. Mach Dir dann klar, was von den Objekten in der Aufgabe Zahlen, Vektoren, Funktionen sind.   -   mikn, vor 3 Wochen, 2 Tage

Ich finde nichts. Wenn ich goolge, kommen Darstellungsmatrizen bezüglich der Basen nur oder eine Matrix mal Vektor - Aufgabe. Inwiefern kann mir das helfen.   -   kamil, vor 3 Wochen, 2 Tage

Darstellungsmatrix bez. Basen, ja das ist es. Dann weiter... (übliche Techniken: hinschreiben, einsetzen, Beispiele ausprobieren). Weil es Dein Verständnis anschiebt.   -   mikn, vor 3 Wochen, 2 Tage

Das in Klammern finde ich nicht, oder es gibt nicht. Ich brauche einfach eine erste ausführliche Erklärung, wie es meint ist, da ich damit nie gearbeitet habe. Natürlich kann ich auch ausprobieren, selber darauf zu kommen. Das dauert dann länger oder ich komme halt nicht drauf, ist dann auch egal. In der Uni in den Übungsgruppen bekommen wir das auch erklärt. Dann warte ich lieber bis dahin   -   kamil, vor 3 Wochen, 2 Tage

Bei einer Erklärung müsste ich jetzt damit anfangen, was eine Basis ist. Dazu ist hier nicht der Platz. Durch Ausprobieren lernt man, so meine ich, am meisten. Einfach mal ein konkretes Element aus P^3 nehmen und l(p) ausrechnen. Dann noch eins, dann noch eins. Dauer: 10 Min., Lerneffekt enorm. Viel Erfolg!   -   mikn, vor 3 Wochen, 2 Tage

Ich weiß, was eine Basis ist. Ich weiß nicht, was hier das p ist. Hier ist keine Funktion gegeben.

Ich gebe es auf 😃
  -   kamil, vor 3 Wochen, 2 Tage

Das p ist aus P_3, also nachschauen, was P_3 ist (s.o.: erst klären, was das alles ist). Was P_3 ist, kann man auch aus der Aufgabenstellung sehen (wenn man weiß, was eine Basis ist ;-)).   -   mikn, vor 3 Wochen, 2 Tage
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