Hallo moreno.

Es gilt: \(g_2: \ \ y=-x+b\), da \(g_2\) parallel zu \(g_1\) sein soll und somit die gleiche Steigung haben muss.

Jetzt kannst du den Schnittpunkt zwischen Parabel und Gerade \(g_2\) bestimmen, in dem du beide Funktionsgleichungen gleichsetzt:

\(f(x)=g_2(x)\)

\((x-4.5)^2+3.5=-x+b\)

Lass dich von der Unbekannten \(b\) nicht verwirren und rechne ersteinmal weiter.

\(x^2-9.5x+20.25+3.5=-x+b\)

\(x^2-8x+23.25-b=0\)

Jetzt wenden wir die PQ-Formel an:

\(x_S=-\dfrac{-8}{2}\pm \sqrt{{\left( \dfrac{-8}{2}\right)}^2-(23.25-b)}\)

Damit kommen wir jetzt an die \(x-Koordinate\) für alle möglichen Schnittpunkte von Gerade \(g_2\) und \(f(x)\). Dabei gibt es unendlich viele. Das ergibt ja auch Sinn: zeichne dir die Funktionen ein und setze für \(b\) verschiedene Werte in \(g_2\) ein. Du wirst sehen es gibt unendlich viele Schnittpunkte. Aber uns interessiert nur ein einziger Fall: der Fall, dass \(g_2\) und \(f(x)\) sich nur \(einmal\) berühren, nämlich im Berührpunkt \(B\). Somit suchen wir genau den Fall, für den \(x_S\) uns nur genau eine Lösung ausgibt. Dies passiert, wenn der Wurzelterm gleich \(0\) ist. Ansonste erhalten wir durch das \(\pm\) ja immer zwei Lösungen.

Somit ist \(x_B=-\dfrac{-8}{2}\pm 0=4\)

Jetzt kennen wir unsere x-Stelle des Berührpunktes. Damit können wir jetzt den Berührpunkt und \(b\) der Geraden \(g_2\) bestimmen.

Grüße