Die e-Funktion ist im Komplexen \( 2 \pi i \)-periodisch (Das gilt es hier ja gerade zu zeigen). Deshalb ist der Logarithmus bzw. der Hauptzweig des Logarithmus im Komplexen nur in einem bestimmten Bereich definiert und man kann ihn hier deshalb nicht anwenden.

Der Weg deines Kollegen ist genau richtig. Es gilt \( e^{\varphi i} = \cos(\varphi) + \sin(\varphi) i \) für alle \( \varphi \in \mathbb{R} \). Das lässt sich mit der Potenzreihendarstellung der Funktionen herleiten (Das habt ihr bestimmt mal in der Vorlesung besprochen). Setzt man \( \varphi = 2 \pi \), dann folgt die Behauptung.

Dadurch, dass in dem Exponenten von \(e^{-2\pi i}\) die imaginäre Einheit auftaucht, musst du entsprechend die Definition der komplexen \(e\)-Funktion verwenden. Und dann kommst du zu dem von deinem Studienkollegen vorgeführt Ergebnis.

Herleitung der Eulerschen Identität findest Du in folgendem Video. Auf meinem youTube Kanal oder in der Lernplayliste gibt es auch Videos zu komplexen Zahlen u.a. auch zur trigonometrischen Form.