Umformung komplexer Zahlen

Aufrufe: 65     Aktiv: vor 1 Woche, 6 Tage

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Hallo,
ich scheitere gerade an folgender einfachen Aufgabe:

\(e^{2 \pi i} = 1\)

Mein Rechenweg war wie folgt:

\(e^{-2 \pi i} = 1 | \ln{}\)
\(-2 \pi i = \ln{1} \)
\(-2 \pi i = 0 \)

Nur bin ich dann an dieser Stelle nicht mehr weitergekommen.

Ein Studienkollege hat es auf diese Art und Weise gelöst:

\(e^{-2 \pi i} = 1 * (\cos{-2 \pi} + \sin{-2 \pi} * i) = 1 * 1 + 0 * i = 1\)
\(1 = 1 \rightarrow Wahre Aussage\)

 

Grundsätzlich verstehe ich in diesem Kontext nicht, warum \(e\) außer Acht gelassen wurde, weil das ja bei einer Operation mit \(\ln{}\) den Wert von \(1\) auf \(0\) ändert.

 

Vielen Dank und LG

 

gefragt vor 1 Woche, 6 Tage
a
amanio,
Student, Punkte: 16

 
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3 Antworten
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Die e-Funktion ist im Komplexen \( 2 \pi i \)-periodisch (Das gilt es hier ja gerade zu zeigen). Deshalb ist der Logarithmus bzw. der Hauptzweig des Logarithmus im Komplexen nur in einem bestimmten Bereich definiert und man kann ihn hier deshalb nicht anwenden.

Der Weg deines Kollegen ist genau richtig. Es gilt \( e^{\varphi i} = \cos(\varphi) + \sin(\varphi) i \) für alle \( \varphi \in \mathbb{R} \). Das lässt sich mit der Potenzreihendarstellung der Funktionen herleiten (Das habt ihr bestimmt mal in der Vorlesung besprochen). Setzt man \( \varphi = 2 \pi \), dann folgt die Behauptung.

geantwortet vor 1 Woche, 6 Tage
g
anonym
Student, Punkte: 2.65K
 

Jetzt verstehe ich auch die Hintergründe besser, warum man das so nicht machen darf. Vielen Dank.   -   amanio, vor 1 Woche, 6 Tage
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Dadurch, dass in dem Exponenten von \(e^{-2\pi i}\) die imaginäre Einheit auftaucht, musst du entsprechend die Definition der komplexen \(e\)-Funktion verwenden. Und dann kommst du zu dem von deinem Studienkollegen vorgeführt Ergebnis.

geantwortet vor 1 Woche, 6 Tage
mathe.study
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Merci   -   amanio, vor 1 Woche, 6 Tage
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Herleitung der Eulerschen Identität findest Du in folgendem Video. Auf meinem youTube Kanal oder in der Lernplayliste gibt es auch Videos zu komplexen Zahlen u.a. auch zur trigonometrischen Form.

geantwortet vor 1 Woche, 6 Tage
p
professorrs verified
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