Sei \(\varepsilon > 0\) gegeben. Die Funktion \(f\) ist stetig, d.h. zu jedem \(x \in [a,b]\) finden wir ein \(\delta_x>0\), sodass für alle \(y \in [a,b]\) gilt

\( \vert y - x \vert < \delta_x \Rightarrow \vert f(y) - f(x) \vert < \frac{\varepsilon}{3} \)

Wegen der Kompaktheit von \([a,b]\) finden wir zu der offene Überdeckung \( [a,b] \subset \cup_{x \in [a,b]} B_{\delta_x}(x) \) eine endliche Teilüberdeckung \( [a,b] \subset \cup_{i=1}^n B_{\delta_{x_i}}(x_i) \).

Nun definieren wir \(M_1 = B_{\delta_{x_1}}(x_1) \cap [a,b]\) und \( M_k = (B_{\delta_{x_k}}(x_k) \cap [a,b]) \setminus \cup_{i=1}^{k-1} M_{i} \) für \(k \in \{2, \dots n\}\). Es gilt \( [a,b] = \cup_{k=1}^n M_k \) (disjunkt).

Jetzt wählen wir \( g= \sum_{k=1}^n \inf_{m \in M_k}\{f(m)\} \cdot \mathbb{I}_{M_k} \) und \( h= \sum_{k=1}^n \sup_{m \in M_k}\{f(m)\} \cdot \mathbb{I}_{M_k} \). Dies sind offensichtlich Treppenfunktionen mit \(g \le f \le h\).

Sei nun \( y \in [a,b]\). Dann existiert ein eindeutiges \(k \in \{1, \dots n\}\), sodass \(y \in M_k \subset B_{\delta_{x_k}}(x_k) \). Nach Konstruktion gilt nun für alle \(m \in M_k\)

\( \vert f(y) - f(m) \vert = \vert f(y) - f(x_k) - (f(m) - f(x_k)) \vert \le \vert f(y) - f(x_k) \vert + \vert f(m) - f(x_k) \vert < \frac{ \varepsilon }{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \frac{2 \varepsilon}{3} \).

Durch Grenzübergang erhalten wir dann \( \vert f(y) - g(y) \vert = \vert f(y) - \inf_{m \in M_k} \{f(m)\} \vert \le \frac{2 \varepsilon}{3} \) und \( \vert f(y) - h(y) \vert = \vert f(y) - \sup_{m \in M_k} \{f(m)\} \vert \le \frac{2 \varepsilon}{3} \).

Somit folgt \( \| f - g \|_{[a,b]} = \max_{y \in [a,b]} \vert f(y) - g(y) \vert \le \frac{2 \varepsilon}{3} < \varepsilon \) und \( \| f - h \|_{[a,b]} = \max_{y \in [a,b]} \vert f(y) - h(y) \vert \le \frac{2 \varepsilon}{3} < \varepsilon \).

Hi,

ich würde den Definitionsbereich in kleine Abschnitte unterteilen, mit dem folgenden Ziel: Auf jedem dieser Teilintervalle unterscheiden sich die Funktionswerte um höchstens \(\varepsilon\). Die obere Treppenfunktion nimmt den größten Wert in diesem Intervall an, die untere Treppenfunktion den unteren Wert. Dann sind die gewünschten Bedingungen erfüllt. Bleibt zu zeigen, dass es möglich ist, eine solche Unterteilung zu finden. Da müsste ich jetzt auch etwas nachdenken. Vermutlich muss man in die folgende Richtung argumentieren: Zwischen einem Minimum und einem Maximum genügen \(\frac1\varepsilon\) mal Differenz von Max und Min viele Intervalle. Und dann kann man die Eigenschaft der Stetigkeit ausnutzen, dass es an jedem Punkt des Definitionsbereichs für jedes \(\varepsilon>0\) eine \(\delta_\varepsilon>0\) gibt, welches garantiert, das in der \(\delta_\varepsilon\)-Umgebung die Funktionswert konzentriert sind ... aber hier fehlen noch Argumente.