Abschluss von Nullmenge auch Nullmenge?

Aufrufe: 768     Aktiv: 10.07.2020 um 00:55
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Hallo 🍍

Ich hab da mal zwei Fragen zum Thema Nullmengen: und zwar wollte ich wissen ob der Abschluss einer Nullmenge auch eine Nullmenge ist??

Und die andere Frage: sagen wir, wir haben zwei Nullmenge A und B. Ist dann A x B in IR^2 auch eine Nullmenge??

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Nimm mal die Menge \(A=\mathbb{Q}\cap[0,1]\). Das ist unter dem Lebesguemaß eine Nullmenge aber der Abschluss von A ist gerade [0,1] und hat Lebesguemaß 1. Dass AxB eine Nullmenge ist, folgt einfach aus der Definition des Produktmaßes, falls du dieses verwendest. Du könntest aber auch ein anderes Maß auf R^2 definieren, unter dem AxB keine Nullmenge mehr ist.

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Ah okay das Beispiel klingt einleuchtend, aber warum folgt die zweite Aussage aus der Definition? Das versteh ich noch nicht so ganz...   ─   karamellkatze 10.07.2020 um 00:25
Naja per Definition ist ja \(\lambda_2(A\times B)=\lambda_1(A)\lambda_1(B)\) und wenn A oder B Maß Null hat, hat damit automatisch auch AxB Maß Null.   ─   benesalva 10.07.2020 um 00:55

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