Nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen ist immer eine Bastelei, die von Übung und Durchhaltevermögen abhängt. Jedes ist anders, da gibt es kaum allgemeine Tricks. Mit Deiner Gleichung (1) und (2) und NB gilt:

(1)*x1 ergibt: \(\quad 0.4\,x_1^{0.4}x_2^{0.7} -\lambda\,p_1\,x_1 =0\)

(2)*x2 ergibt::\(\quad x_1^{0.4}0.7\,x_2^{0.7} -\lambda\,p_2\,x_2 =0\)

(1)*x1+(2)*x2 ergibt, unter Einbringung der NB: \(1.1\,\,x_1^{0.4}x_2^{0.7} =y\). also

(3) \(\quad x_1^{0.4}x_2^{0.7} =\frac{y}{1.1}\).

Das in (1)*x1 eingesetzt liefert:   (4) \(\quad\frac{0.4}{1.1}\, y =\lambda\,p_1\,x_1\).

Dasselbe in (2)*x2 eingesetzt liefert:   (5) \(\quad\frac{0.7}{1.1}\, y =\lambda\,p_2\,x_2\).

(4)/(5) liefert:   (6) \(\quad\frac{0.4}{0.7} =\frac{p_1x_1}{p_2x_2}\), also \(x_1=\frac{0.4\,p_2}{0.7\,p_1}x_2\)

Das in (3) eingesetzt kann man \(x_2\) bestimmen. mit \(x_2\) kann man aus (5) \(\lambda\) bestimmen und damit aus (4) \(x_1\).

Kann sein, dass es auch kürzer geht, falls jemand eine Idee hat...

Und alle Angaben ohne Gewähr....