Unterschied von strenger und schwacher Konvexität einer Kurve

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Hallo,

ich habe ein Problem zu erkennen wann eine kurve schwach und wann streng konvex ist. 

Kann mir jemand sagen wie ich den Unterschied rechnerisch und auch graphisch ermitteln kann?

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

 

gefragt vor 2 Wochen
r

 
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1 Antwort
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Streng konvex heißt, dass wenn du zwei Punkte auf der Funktion verbindest, die Gerade zwischen den beiden Punkten immer über der Funktion liegt. Liegt die Funktion zwischen den beiden Punkten auch mal genau auf der Geraden, so ist die Funktion noch schwach konvex. Eine lineare Funktion ist beispielsweise immer schwach konvex. Rechnerisch bedeutet strenge Konvexität, dass für alle \(\lambda\in[0,1]\) und alle \(x,y\) aus dem Definitionsbereich gilt:

\(f(\lambda x+(1-\lambda) y)< \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)\).

Für schwache Konvexität reicht es, wenn kleiner gleich gilt. 

Alternativ kann man sich auch die zweite Ableitung anschauen. 

Wenn \(f''(x)>0\) für alle \(x\) auf einem Bereich, dann ist \(f\) streng konvex auf diesem Bereich.

Wenn \(f''(x)\geq0\) für alle \(x\) auf einem Bereich, dann ist \(f\) schwach konvex auf diesem Bereich.

geantwortet vor 1 Woche, 6 Tage
benesalvatore verified
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