Hallo,

eine gebrochenrationale Funktion besitzt eine Polstelle, wenn das Nennerpolynom Null wird. Die Information der Polstelle, liefert dir somit dein Nennerpolynom. Das bei der Polstelle ein Vorzeichenwechsel passieren soll, verrät dir zudem, dass das Nennerpolynom eine ungerade Potenz hat. 
Betrachten wir dafür mal beispielsweise die Funktion \( f(x) = x \). Die Nullstelle ist trivialerweise \( x=0 \). Da diese Funktion aber im Nenner stehen soll, dürfen wir \( x=0 \) nicht einsetzen. Deshalb betrachten wir die Funktion kurz vor und kurz nach der Nullstelle. Wir nähern uns der Null von den negativen Zahlen. Das heißt kurz vor der Null ist die Funktion negativ. Wenn wir aber an der Null vorbei sind, bewegen wir uns in den positiven Zahlen. Dort ist die Funktion also positiv. 
Wenn wir jetzt aber die Funktion \( g(x) = x^2 \) betrachten, setzen wir zwar kurz vor der Null eine negative Zahl ein. Jedoch wird diese durch das quadrieren positiv. 
Wir haben also eine Nennerfunktion mit ungerade Potenz.

Die Asymptote gibt uns Auskunft darüber, wie das Verhalten im unendlichen aussieht. Wenn der Grad der Zähler und Nennerfunktion gleich ist, verläuft die Funktion asymptotisch gegen die Gerade \( y = a \) mit \( a \neq 0 \). Dabei ergibt sich \( a \) aus dem Verhältnis der führenden Faktoren des Zähler- und Nennerpolynoms. 
Das liegt daran, dass bei sehr sehr großen Zahlen, nur noch die Summanden mit der höchsten Potenz einen wirklichen Einfluss auf den Verlauf der Funktion haben. 
Deshalb geht eine Funktion auch asymptotisch gegen \( y=0 \), wenn der Nennergrad höher ist als der Zählergrad. Der Zählergrad spielt ab einem gewissen \( x \) keine Rolle mehr und so dominiert das Nennerpolynom. Da dieses immer größer wird, geht der Bruch insgesammt gegen Null.

Aus diesen Informationen kann nun die gebrochenrationale Funktion mit den gegebenen Eigenschaften erstellt werden. 

Als Beispiel die Aufgabe 1)

$$ f(x) = \frac {z(x)} {n(x)} $$

Die Asymptote wird durch 

$$ y = 2 $$ 

beschrieben. Somit wissen wir, dass Nenner- und Zählergrad gleich sind. 

Da wir eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel haben, muss der Grad des Nennerpolynoms ungerade sein. Nehmen wir mal den Grad \( 1 \). Damit erhalten wir

$$ z(x) = ax+b, \quad n(x) = cx + d $$

Nun wissen wir außerdem, dass bei \( x = 2 \) eine Polstelle sein soll. Damit muss \( x = 2 \) eine Nullstelle von \( n(x) \) sein. Damit ergibt sich das Nennerpolynom zu

$$ n(x) = x-2 $$

Damit haben wir schon mal 

$$ f(x) = \frac {ax+b} {x-2} $$

Da die Funktion ihre Asymptote bei \( y=2 \) hat, wissen wir auch dass das Verhältnis der führenden Koeffizienten der beiden Polynome gleich \( 2 \) sein muss

$$ \frac a 1 = 2 $$

somit ist \( a = 2 \). Mit der Nullstelle können wir nun noch \( b \) berechnen und sind fertig

$$ z(x) = 2x -3 $$

und wir erhalten die Funktion

$$ f(x) = \frac {2x-3} {x-2} $$

Grüße Christian