Man "probiert" keine Ansätze durch, sondern man weiß ganz genau, welcher Ansatz zum Ziel führt. Die Regel sagt, wenn die rechte Seite die Form \(e^{\alpha\, x}\,q(x)\) hat (das hat sie hier: \(\alpha =1,\,q(x)=10\)), dann muss man prüfen, ob \(\alpha \) Nullstelle des char. Polynoms ist. Wenn dies \(k\)-fache Nullstelle ist, dann führt der Ansatz

\(y_p(x)=x^k\,p_1(x)\,e^{\alpha\,x}\) zum Ziel, wobei \(p_1\) ein Polynom vom Grad max. des Grades von \(q\) ist (muss allgemein angesetzt werden).

Es gibt versch. Arten, diese Regel aufzuschreiben, schau in Deine Unterlagen, welche Ihr besprochen habt. Alternativ nimm die obige, setz alles ein und Du wirst schon sehen, was für ein Ansatz entsteht.

Moin Michael.

Der Ansatz \(Y_s(x)=Ae^x\) führt dich nicht weit, da er ja schon teil der homogenen Lösung ist!

Deswegen probiert man dann den Ansatz mit \(Y_s(x)=Axe^x\). Wäre dies schon teil der homogenen Lösung würde man den Ansatz \(Y_s(x)=Ax^2e^x\) wählen, usw...

Grüße

Über Differenzialgleichungen mit Konstanten koeffizienten findest Du alles auf meinem youTube Kanal unter Lineare DGL. Hier einige videos, die DEIN PROBLEM KONKRET LÖSEN.