Vollständige Induktion mit Fibonacci

Erste Frage Aufrufe: 1186     Aktiv: 28.08.2018 um 18:27
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Liebe Community,   ich bin gerade auf ein Problem gestoßen und habe keinerlei Anhaltspunkt. Es handelt sich um vollständige Induktion. Kann mir jemand weiterhelfen?     LG
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Student, Punkte: 7

 
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Hallo,

ist dir das Prinzip der vollständigen Induktion klar?

Falls nicht, lies dir erstmal diesen Artikel durch.

Zur Aufgabe:

(dass die Formel für k=0,1 gilt, ist ja offensichtlich)

kannst du den Schluss von k zu k+1 selber?

Gruß,

Gauß

 

PS: Du findest eine Möglichkeit des Induktionsschlusses als Kommentar.

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Lehrer/Professor, Punkte: 1.99K

 
Hier der Schluss von k zu k+1:

[img alt_text='' description='']https://letsrockmathe.de/fragen/wp-content/uploads/sites/18/2018/08/ind2.png[/img]   ─   carl-friedrich-gauss 28.08.2018 um 19:58
Könntest du mir folgenden Schritt genauer erklären? Vielen Dank.

Ich hab es unten probiert von k+1 auf k + k-1 zu schließen, jedoch bin ich nicht sehr weit gekommen.

Gruß

[img alt_text='' description='']https://letsrockmathe.de/fragen/wp-content/uploads/sites/18/2018/08/V3.jpg[/img]   ─   tetova18 28.08.2018 um 20:14
Gerne, ich habe da einfach ((1+sqrt{5})/2)^{k-1} ausgeklammert.

Hast du noch weitere Fragen?   ─   carl-friedrich-gauss 28.08.2018 um 20:17
Raffiniert ausgeklammert. Wäre ich nicht drauf gekommen. Das heißt also der Trick war einfach nur geschickt ausklammern um zu zeigen, dass k + k-1 gleich k+1 ergeben?

Danke und freundliche Grüße   ─   tetova18 28.08.2018 um 20:24
Der Hinweis in deiner Aufgabe (1+x=x^2) hat einen ein bisschen darauf gebracht.

Wenn du mit "k + k-1 gleich k+1" meinst, dass Phi^k+Phi^{k-1}=Phi^{k+1} (bzw analog mit Psi) ist, dann ja, das war eigentlich die ganze Arbeit.

Immer wieder gerne,

Gruß

Gauß   ─   carl-friedrich-gauss 28.08.2018 um 20:32
Ja, der Hinweis macht jetzt auch Sinn. Nur etwas zu spät :D

Vielen Dank!

Gruß   ─   tetova18 28.08.2018 um 20:48
Bitte, bitte :)

Gruß,

Gauß   ─   carl-friedrich-gauss 28.08.2018 um 20:51

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Hallo, du brauchst hier zwei Induktionsvoraussetzungen. Einmal n und einmal n-1. Grüße, h
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Student, Punkte: 2.46K

 

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Hallo, danke für die schnellen Antworten. Ich habe es nun mit k -> k+1 probiert komme jedoch nicht weiter bzw. weiß gar nicht ob ich auf dem richtigen Weg bin. Könnt ihr euch das mal ansehen? Ich habe probiert von k+1 zu k + k-1 zu kommen. Vielen lieben Dank Gruß  
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Student, Punkte: 7

 

Deine IV ist, dass der Ausdruck für ein beliebiges k (bzw k-1) gilt. Daher muss dein IS aufzeigen, dass der Ausdruck auch für k+1 gilt, basierend darauf, dass er für k und k-1 gültig ist. Du setzt hier schon gleich den Ausdruck für a_{k+1} ein, ohne zu wissen ob es überhaupt gilt. Du musst dich erst zu dem Ausdruck "hinhangeln"

   ─   carl-friedrich-gauss 28.08.2018 um 20:15
Wie muss dann meine IV konkret aussehen? k+1 = k + k-1?

Gruß   ─   tetova18 28.08.2018 um 20:26

Ob man die IV konkret hinschreibt, ist Geschmackssache . Ich lasse sie meistens weg und schreibe nur IA und IS. Die IV wäre, dass der Ausdruck für k und k-1 gelte, dann folgerst du mit dem IS, dass der Ausdruck auch für k+1 gilt.

(mit Ausdruck meine ich die geschlossene Form a_{k}=1/sqrt{5}...)

Gruß,

Gauß

   ─   carl-friedrich-gauss 28.08.2018 um 20:35

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