Hallo,

dann werde ich dir mal ein bisschen Starthilfe geben.

Wir betrachten also \(\left ( n+1 \right )^3y_{n+1}-n^3y_n=3\Leftrightarrow y_{n+1}=\frac{3+n^3y_n}{\left ( n+1 \right )^3}\).

Setzten wir jetzt beispielsweise mal \(n=3\). Dann ist \(y_4=\frac{3+3^3y_3}{\left ( 3+1 \right )^3}\) und \(y_3\) ist

\(y_3=\frac{3+2^3y_2}{\left ( 2+1 \right )^3}\). Nun setzten wir dies in die erste Gleichung ein:

\(y_4=\frac{3+3^3y_3}{\left ( 3+1 \right )^3}=\frac{3+3^3\left ( \frac{3+2^3y_2}{\left ( 2+1 \right )^3}\right )}{\left ( 3+1 \right )^3}\)

\(=\frac{3+3+2^3y_2}{\left ( 3+1 \right )^3}\).  Weiter können wir wegen  \(y_{n+1}=\frac{3+n^3y_n}{\left ( n+1 \right )^3}\)

\(y_2\) schreiben als \(y_2=\frac{3+1^3y_1}{2^3}\). Setzen wir dies nun ein, erhalten wir:

\(y_4=\frac{3+3+2^3y_2}{\left ( 3+1 \right )^3}=\frac{3+3+2^3\left ( \frac{3+1^3y_1}{2^3} \right )}{\left ( 3+1 \right )^3}=\frac{3+3+3+1^3y_1}{\left ( 3+1 \right )^3}\)

\(=\frac{3\cdot3+y_1}{\left ( 3+1 \right )^3}=\frac{3\cdot3+2}{\left ( 3+1 \right )^3}\).

Also \(y_4=\frac{3\cdot3+2}{\left ( 3+1 \right )^3}\).

Versuche es jetzt mal für beliebiges \(n\).

Gruß,

Gauß

PS:

Zur Kontrolle:

Du solltest auf \(y_{n+1}=\frac{3n+2}{\left ( n+1 \right )^3}\) bzw. \(y_{n}=\frac{3\left ( n-1 \right )+2}{n^3}=\frac{3n-1}{n^3}\) kommen.

PPS: Streng genommen würde man so nur "Vermuten" können, wie unsere Folge aussieht. Formal Beweisen können wir unsere Vermutung dann Beispielsweise über die Vollständige Induktion