Hi Malro,

Das Beispiel ist wirklich sehr ungeschickt für das Verständnis von Äquivalenzklassen. Allgemein gilt, dass bezüglich einer Äquivalenzrelation ~ die Äquivalenzklasse [a] eines Elements a genau die Menge aller Elemente ist, die zu a äquivalent sind. a ist hierbei der Repräsentant der Äquivalenzklasse, aber i.d.R. nicht deren einziges Element. In deinem Beispiel gibt R die Äquivalenzrelation über Tupel an: 1 ist äquivalent zu 4, 2 ist äquivalent zu 4, 3 ist äquivalent zu 3, 4 ist äquivalent zu 4 usw. Die Elemente 1,2 und 4 sind also jeweils zueinander, aber nicht zu den Elementen 3 und 5 äquivalent. Es ist also 1~1, 1~2, 1~4 und somit [1]={1,2,4}. Aufgrund der Symmetrie und der Reflexivität der Äquivalenzrelation ist aber auch {1,2,4}=[2]=[4]. Da die Elemente 3 und 5 nur zu sich selbst äquivalent sind, ist [3]={3} und [5]={5}.

Der Faktorraum bzgl. einer Äquivalenzrelation ist dann die Menge aller Äquivalenzklassen. Das wäre hier F={[1], [3], [5]}={[2], [3], [5]}={[3], [4], [5]}. Wozu das gut ist erfährst du, wenn der Begriff des Restklassenrings fällt - da will ich aber nicht spoilern.