Hey Eugen,

ich bin zwar nicht vom Fach, wenn es um Rentenrechnung geht, allerdings habe ich mal Folgendes nachgeschlagen, wenn es um den Unterschied zwischen "nachschüssige" und "vorschüssige" Renten geht.

Ich beziehe mich hierbei direkt mal auf folgende Literatur, die dir hierbei behilflich sein könnte:

Arrenberg, Jutta (2015): Finanzmathematik - Lehrbuch mit Übungen, 3. Auflage. Oldenburg: De Gruyter Verlag. ISBN: 978-3-11-041369-4.

Das im Buch befindliche Kapitel 4: "Rentenrechnung" beschäftigt sich im Abschnitt 4.1 "Jährliche Verzinsung" bzw. Abschnitt 4.1.1 "Nachschüssige Verzinsung" und Abschnitt 4.1.2 "Vorschüssige Verzinsung" mit genau dieser Thematik (zu finden ab Seite 39 bzw. 47 im Buch). Ich erkläre hier das Vorgehen aus dem Buch, so dass du dein Problem damit dann (hoffentlich) einfach gelöst bekommst.

Zitat (Seite 39 im Buch):

"Hauptaufgabe der Rentenrechnung ist es, das Guthaben zu berechnen, das bei regelmäßigen (z. B. jährlichen) festen Einzahlungen [Rentenbeitrag] mit  Verzinsung [%] pro anno in \(n\) Jahren entsteht."

Grundsätzlich handelt es sich bei deiner Aufgabe um eine Aufgabe, bei der eine jährliche Jahresrente berechnet bzw. bei der die Formeln für die jährliche Jahresrente verwendet werden sollen. Der Begriff "jährlich" impiziert hierbei, dass man jährlich Geld an die Rentenkasse zahlt, um nach \(n\) Jahren einen Rentenendwert \(r_{n}\) ausgezahlt zu bekommen bzw. erreicht zu haben.

Der Begriff "nachschüssig" bedeutet hierbei, dass die Renteneinzahlung \(r\) (auch "Jahresrente" genannt) jeweils am Ende eines Jahres erfolgt.

Der Begriff "vorschüssig" bedeutet im Gegensatz dazu, dass die Renteneinzahlung \(r\) jeweils zum Anfang eines Jahres erfolgt.

Beide Begriffe beschreiben außerdem nicht nur eine Verzinsungsart, sondern auch gleichzeitig den Zahlungstermin, an dem ein Rentenbetrag eingezahlt werden soll. Außerdem gelten für beide Rentenarten die gleichen Formeln, mit Ausnahme davon, dass die Einzahlungen bei der vorschüssigen Rente ein Jahr länger auf dem Konto liegen (man zahlt schließlich am Anfang des Jahres ein und bekommt die Rentenbeträge erst am Ende des Jahres frühestens wieder ausgezahlt) und dass die jährliche Einzahlung im Fall der vorschüssigen Rente durch

\(r_{nach}=q\cdot r_{vor}\)

ausgedrückt werden muss. Ich führe weiter unten die Formel für die nachschüssige Rente auf, so dass du dir die Formel für die vorschüssige Rente dann mit der Gleichung oben umbauen kannst, wenn du das Anderes benötigst. :)

Zur Berechnung deiner Aufgabe will ich hier erstmal die Variablen klären (analog zur Definition 4.1 im Buch auf Seite 39) und das unabhängig davon, welche Rentenart du da jetzt vorliegen hast; für beide Rentenarten gelten ja die gleichen Formeln, so dass das erstmal weniger relevant ist und eher zur Erläuterung der gesuchten Formel betragen soll.

Wir haben hier:

• die jährliche Einzahlung \(r_{vor}\) / \(r_{nach}\) (vor- oder nachschüssig, oft auch als "Rente" bzw. "Rate" bezeichnet),
• den Rentenendwert \(r_{n}\) nach \(n\) Jahren bzw. die Anzahl \(n\) der Male, die die Rente ausgezahlt wird, und
• die jährliche Zinsrate \(q=1+\frac{p}{100}\) (Dezimalzahl) bzw. mit dem Zinsfuß \(p\) (in % und größer als 0).

Rein von deinem Text würde ich (ohne da jetzt groß vom Fach zu sein) mal tippen, dass es sich hier eher um eine vorschüssige Rente handeln könnte, da die Auszahlung der Rente (analog zur Einzahlung) bei Fälligkeit der Versicherung erfolgt, d.h. (wohl eher) zu Beginn des Jahres.

Hierzu aber keine Gewähr. ;o)

Wir betrachten nun die jährliche Verzinsung mit nachschüssiger Jahresrente, dessen Rentenendwert \(r_{n}\) sich nach \(n\) Jahren wie folgt ausdrücken lässt:

Wir sollen nun die Formel so umgestalten, dass sich ein Ausdruck ergibt, mit dem man die Beziehungen zwischen \(r_{n}\), \(r_{nach}\), \(q\) und \(p\) einfacher ausdrücken kann. Hierzu wird zunächst \(r_{nach}\) ausgeklammert und anschließend mit \((q-1)\) mal genommen:

Dies hat nun den Effekt, dass wir die beiden Klammern auf der rechten Seite miteinander verrechnen können, so dass sich Folgendes ergibt:

Wie du hier dann bestimmt bemerkst besteht hier der Trick darin, in Gleichung (3) soweit wie möglich rauszukürzen, so dass wir am Ende den (einfachen) Term in Gleichung (4) erhalten (der sich ausschließlich darauf konzentriert, welche Renteneinzahlung \(r_{nach}\) man verwendet, wie viele Jahre \(n\) der Beitrag gezahlt und mit welcher Wachstumsrate \(q\) er verzinst werden soll).

Tipp hierzu noch wenn da was nicht klar sein sollte: Versuch' die Struktur innerhalb der Gleichung zu erkennen, indem du vielleicht auch noch ein wenig weiter gehst und den Term in Gleichung (1) weiter ausformulierst - das hilft dabei, den Schritt später in Gleichung (3) besser nachzuvollziehen. ;)

Als Ergebnis erhalten wir dann den Gesamtbetrag \(r_{n}\) für die nachschüssige Jahresrente (mit Division durch \(q-1\) in Gleichung (4))

\(r_{n}=r_{nach}\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}=r_{nach}\cdot \frac{q^{n}-1}{p}\cdot 100\)

bzw. für die vorschüssige Jahresrente (mit Substitution von \(r_{nach}=r_{vor}\cdot q\))

\(r_{n}=r_{vor}\cdot q\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}=r_{vor}\cdot q\cdot \frac{q^{n}-1}{p}\cdot 100\).

Ich würde dann nun annehmen, dass du deine Aufgabenstellung mit \(r_{n}=175.000\) € (die Lebensversicherung), \(r_{nach}=17.000\) € (gewünschte jährliche Rentenauszahlung; könnte ggf. auch, im Fall der vorschüssigen Jahresrente \(r_{vor}\) sein) und \(q=1+\frac{3,75}{100}=1,0375\) (mit Zinsfuß \(p=3,75\,%\)) gelöst bekommst, indem du nach den (Auszahlungs-)Jahren \(n\) umstellst.

Stichwort hier: Umstellen, Logarithmus anwenden und fertig. :)

Ich hoffe das hilft, deine Verzweiflung ein wenig zu mildern. ;)

Liebe Grüße! 

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Edit: Du findest die hier von mir hergeleiteten Formeln auch hier https://de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung, allerdings mit der Bezeichung \(E_{nach}\) bzw. \(E_{nach}\) (\(E=\)"Endwert").