Hallo al3x,

das ist eine schöne Aufgabe. Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnest Du im Grunde genommen so:

$$\frac{\textrm{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}}{\textrm{Anzahl aller Möglichkeiten}} \tag{1}$$

Das gilt in dieser Form, solange die Laplace-Voraussetzung gegeben ist, dass alle Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind. Das ist bei dem Zahlenschloss aber gegeben.

Unter der Voraussetzung, dass das Zahlenschloss in jedem der vier Slots ein Rädchen mit den Ziffern 0 bis 9 enthält, hast Du die Kombinationsmöglichkeiten \(0|0|0|0\) bis \(9|9|9|9\). Das sind 10000 Möglichkeiten. Das ist die Zahl, die bei beiden Fragen, a) und b), jeweils unter dem Bruchstrich stehen muss. Jetzt musst Du nur noch herausfinden, wieviele »günstige« Möglichkeiten Du im Fall von Frage a) und im Fall von Frage b) hast.

zu Frage a)

Zunächst ist es natürlich so, dass die Ziffer 1 ein Beispiel ist und das für alle anderen Ziffern auch gilt. Meiner Ansicht nach hast Du die Anzahl der günstigen Möglichkeiten bereits richtig berechnet. Zunächst stellt sich die Frage, wieviele verschiedene Mögichkeiten es gibt, zwei Einsen auf vier Slots zu verteilen. Das kannst Du mit dem Binomialkoeffizienten berechnen. [1] Du hast vier Slots, aus denen Du zwei Slots zufällig ziehst, die mit zwei Einsen belegt sind. Das führt zu Gleichung (2).

$$\binom{4}{2}=\frac{4!}{(4-2)!\cdot 2!}=\frac{24}{4}=6 \tag{2}$$

Genauer sind das die folgenden sechs Verteilungsmöglichkeiten für die Einsen:

\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
1 & x & x & 1\\
\hline
\hline
1 & x & 1 & x\\
\hline
\hline
1 & 1 & x & x\\
\hline
\hline
x & 1 & 1 & x\\
\hline
\hline
x & 1 & x & 1\\
\hline
\hline
x & x & 1 & 1\\
\hline
\end{array}

\(x\) bezeichnet dabei jede Ziffer außer der 1, steht also für 9 mögliche Ziffern. Da es bei jeder der sechs Möglichkeiten, zwei Einsen auf vier Slots zu verteilen, immer zwei \(x\)-Slots gibt, sind das jeweils \(9\cdot 9=81\) Möglichkeiten, wie sich zwei der neun anderen Ziffern auf die zwei restlichen Slots verteilen können. Das jetzt sechs mal und du hast Deine günstigen Möglichkeiten.

Zu Aufgabe b)

Du hast hier wieder zwei Gruppen mit je zwei Slots, die sich auf vier Slots verteilen. Unabhängig davon, welche Paare  es genau sind, kannst Du die Anzahl der Möglichkeiten, wie sich die beiden Paare auf die vier Slots verteilen können, wieder mit dem Binonialkoeffizienten nach Gleichung (2) oder mit dem Multinomialkoefizienten für zwei Gruppen nach Gleichug (2a) bestimmen. Du kommst dann auf die folgenden sechs Möglichkeiten:

\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
A & B & B & A\\
\hline
\hline
A & B & A & B\\
\hline
\hline
A & A & B & B\\
\hline
\hline
B & A & A & B\\
\hline
\hline
B & A & B & A\\
\hline
\hline
B & B & A & A\\
\hline
\end{array}

Sowohl die beiden Slots mit dem \(A\)-Paar, als auch die beiden Slots mit dem \(B\)-Paar sind jeweils aneinander gekoppelt. Es ist, als ob Du nur zwei Slots hättest. Deshalb gibt es für die beiden \(A\)-Slots zehn Möglichkeiten dafür, welche Ziffer sie zeigen. Für jede dieser zehn Möglichkeiten für die \(A\)-Slots gibt es jeweils neun Möglichkeiten dafür, welche Ziffern die \(B\)-Slots zeigen, nämlich immer alle außer der Ziffer, die die \(A\)-Slots zeigen. Das bedeutet, dass Du hier insgesamt \(6\cdot 10\cdot 9\) günstige Möglichkeiten hast.

So. Und jetzt kannst Du Dir noch weitere Aufgaben mit den vier Slots überlegen und die jeweils durchspielen. Zum Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Slots die Ziffern in 1, 2 , 3, 4 in beliebeiger Reihenfolge zeigen? Oder: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für drei gleiche Ziffern, egal, welche Slots sie zeigen? Oder noch etwas anderes. ;-)

Viele Grüße
jake2042
 
Anmerkungen

[1]
Du kannst stattdessen auch, was numerisch identisch ist, den Multinomialkoeffizienten für zwei Gruppen verwenden. Dafür definierst Du die Anzahl der Slots, die mit Einsen belegt sind mit \(n_{1}\) und die Anzahl der Slots, die mit einer anderen Zahl belegt sind mit \(n_{2}\) und rechnest dann nach Gleichung (2a).

$$\frac{n!}{n_{1}!\cdot n_{2}!}=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=\frac{24}{4}=6 \tag{2a}$$