Aufgabe:

Berechnen Sie die Schnittpunkte der Ebene mit dem Punkt

$$ p = \left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right) $$

und der Normalenvektor

$$ \vec{n} = \left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) $$

und dem Geraden

$$ g(t) = \left(\begin{array}{l}{t+3} \\ {0} \\ {2t}\end{array}\right) $$

Ansatz:

Ebenengleichung:

ax + by + cz = d

Normalenvektor n eingesetzt:

1x + 1y + 0z = d

x + y = d

Punkt der Ebene eingesetzt:

1 + 1 = 2

d = 2

Somit ist mein Ebenengleichung:

x + y = 2

Nun habe ich aus der Geraden einen Punkt rausgenommen

$$ g: \vec{t}= \left(\begin{array}{l}{?} \\ {?} \\ {?}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{l}{t*?} \\ {t*?} \\ {t*?}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{t+3} \\ {0} \\ {2t}\end{array}\right)$$

$$ g: \vec{t}= \left(\begin{array}{l}{3} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{l}{t*1} \\ {t*0} \\ {t*2}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{t+3} \\ {0} \\ {2t}\end{array}\right)$$

Da ich nun mein Stützvektor

$$ \vec{P_G} =  \left(\begin{array}{l}{3} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)$$

habe kann ich mit den vorhandenen Daten ja die Hesseform verwenden:

$$ d(\vec{P_G}; E) = \frac{Ebenengleichung}{|\vec{n}|}$$

$$ |\vec{n}| = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} $$

$$ |\vec{n}| = \sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}} $$

$$ |\vec{n}| = \sqrt{2} $$

Einsetzen Ebenengleichung und |n|

$$ d(\vec{P_G}; E) = \frac{x+y-2}{\sqrt{2}} $$

Einsetzen P_G :

$$ d(\vec{P_G}; E) = \frac{3+0-2}{\sqrt{2}} $$

$$ d(\vec{P_G}; E) = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Ist die Lösung richtig oder muss ich hier noch anders ran?