Die Hesse-Matrix wird aufgestellt, indem bei mehrdimensionalen Funktionen die zweiten Ableitungen gebildet werden. Angenommen wir haben \(f(x,y)=(x+y)^2-3x\) gegeben. Dann werden die ersten Ableitungen \(f_x\) bzw. \(f_y\) nach \(x\) bzw. \(y\) bestimmt durch \(f_x(x,y)=2x+2y-3, f_y(x,y)=2x+2y\). Leite diese nun erneut ab: $$ f_{xx}(x,y)=2, f_{xy}(x,y)=2, f_{yx}(x,y)=2, f_{yy}(x,y)=2 $$.

Nun kannst Du die Hesse-Matrix aufstellen: $$\begin{pmatrix} f_{xx} &  f_{xy} \\ f_{yx} &  f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 &  2 \\ 2 &  2 \end{pmatrix}, $$ die in unserem Fall die Eigenwerte \(0\) sowie \(2\) besitzt. Sie ist somit positiv semidefinit und in dem Fall sogar unabhängig von den Variablen.

Im Normalfall kann man mittels der Definitheit der Hesse-Matrix in einem Punkt aussagen, ob Extrema vorliegen. Ist sie positiv (bzw. negativ) definitit, liegt ein lokales Minimum (bzw. Maximum) vor. Bei Indefinitheit ein Sattelpunkt. Bei Semidefinitheit kann keine genaue Aussage getroffen werden.