Extremstellen Mehrdimensionale Analysis mit Hessematrix

Aufrufe: 1360     Aktiv: 12.08.2019 um 21:27
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Hallo, folgende Aufgabe:

Zuerst bilde ich die partiellen Ableitungen: f'x(x,y)=-2x+y+7   und f'y(x,y)=x-6y+2

Diese setze ich =0 und bekomme durch das Gleichungssystem für x=4 und y=1 raus.

Nun weiß ich dass an dieser Stelle (wenn ich x und y in f(x,y) einsetze, bekomme ich ja den z-Wert raus) P=(4,1,12) eine Extremstelle vorliegen kann.

Um dies herauszubekommen stelle ich die Hessematrix auf: Hf(-2,1,1,-6) 

Wie kann ich daraus nun herausfinden ob ein lok.minimum oder maximum (eve. auch Sattelpunkt) vorliegt?

und kann es nicht auch sein dass noch weitere Extremstellen vorliegen?

LG

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So sieht die Funktion in 3D aus.

In deinem Fall hast du schon alles, was du wissen willst. Es gibt keine weiteren Extremstellen...

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Student, Punkte: 5.08K

 
Klasse und stimmt wohl dass es ein lokales Maximum ist!
Danke für die Veranschaulichung!   ─   duschmal 12.08.2019 um 21:27

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Student, Punkte: 5.08K

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Okay, also es gibt wohl verschiedene Verfahren um auf ein Ergebnis zu kommen, aber eine wirkt recht eingängig:
Ich bilde die Determinanten D (also Produkt auf der Hauptdiagonalen und Nebendiagonale?) und ziehe diese von einander ab.
In diesm Fall ja -2*-6 - 1*1 =11 und nun betrachte ich den Eigenwert von f'x'x oder auch f'y'y und kann dadurch dann sagen welche art von Extrem vorliegt:
Wenn D>0 und der Eigenwert >0 dann Minimum
Wenn D>0 und Eigenwert <0 dann Maximum
Wenn D<0 dann Sattelpunkt.
Also habe ich in meinem Fall ein lokales Maximum?
Leider habe ich nicht rausfinden können wie ich noch weitere Extremstellen bekomme..
Vielen Dank schonmal   ─   duschmal 12.08.2019 um 20:15

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