Hallo!

Da die Funktion \(\displaystyle f(x) = x+1\) Riemann-integrierbar ist, konvergieren sowohl die Unter- als auch die Obersumme gegen den gleichen Wert. Wir integrieren hierbei auf dem Intervall \(\displaystyle [0,a]\), was zur Folge hat, dass die Maschenweite \(\displaystyle \frac{a-0}{n} = \frac{a}{n}\) beträgt. Für die Funktion bedeutet dies im Umkehrschluss, dass wir folgende Summe bilden (\(\displaystyle f(k\cdot a\div n)\)):

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{a}{n}\cdot\left(k\cdot\frac{a}{n}+1\right)\right) = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{a^2}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{n^2} + a\cdot\frac{n+1}{n}\right) = \frac{a^2}{2} + a\).

Zur Überprüfung:

\(\displaystyle \int_{0}^{a} x + 1\,\mathrm{d}x = \left. \frac{x^2}{2}+x\right\vert_{0}^{a} = \frac{a^2}{2} + a\).

Gruß.

Also zunächst kann man rechnen `sum_{k=0}^{n}a/n*(k*a/n+1)=sum_{k=0}^{n}(a^2)/(n^2)*k+a/n`. 

Das ist eine Summe vom Typ `sum_{k=0}^{x}m*k+b`.
Diese Summe kannst du umschreiben in zwei Einzelsummen vom Typ `sum_{k=0}^{x}m*k+sum_{k=0}^{x}b`. Für diese Einzelsummen kannst du jetzt (hoffentlich) bekannte Regeln anwenden. Einmal die Gaußsche Summenformel und zudem eine Standardsumme. So kann man finden `sum_{k=0}^{x}m*k+sum_{k=0}^{x}b=m*x*(x+1)/2+b*(x+1)`
In unserer gesuchten Summe hast du `b=a/n` sowie `x=n` und `m=(a^2)/(n^2)`. Eingesetzt ergibt sich:
`(a^2)/(n^2)*n*(n+1)/2+a/n*(n+1)=a^2*(n+1)/(2n)+a*(n+1)/n`
Von diesem Ausdruck musst du jetzt den Grenzwert bestimmen, dabei solltest du wissen wogegen `(n+1)/n` und `(n+1)/(2n)` für große n gehen. Setze z.B. einfach mal sehr große Zahlen ein. Du solltest auf das bereits oben genannte Ergebnis kommen.

Streng genommen gibt es jetzt noch einen Unterschied zwischen Unter- und Obersummen, wenn mich nicht alles täuscht. Bei der Untersumme bestimmst du `sum_{k=0}^{n-1}a/n*(k*a/n+1)` und bei der Obersumme `sum_{k=1}^{n}a/n*(k*a/n+1)`.