Hallo denno345,
bei Deiner Antwort mit den mehr als 7,4 Millionen Möglichkeiten wahr ich zuerst überrascht und habe gedacht, ein so hohes Ergebnis könne gar nicht sein. Inzwischen bin ich mir ziemlich sicher, dass es noch viel mehr sind, nämlich \(\binom{66}{6}=90\,858\,768\) Möglichkeiten.
Zunächst habe ich mir folgendes überlegt: wenn ich eine bestimmte Anzahl an Personen habe, dann kann ich sie in eine bestimmte Anzahl an möglichen Zweiergruppen aufteilen. Bei 4 Personen habe ich zum Beispiel \(3+2+1=\frac{3\cdot 4}{2}=6\) Zweiergruppen:
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textrm{Nummer} & \textrm{mögliche Zweiergruppen}\\
\hline
1 & AB\\
2 & AC\\
3 & AD\\
4 & BC\\
5 & BD\\
6 & CD\\
\hline
\end{array}
Diese Zweiergruppenkombinationen betrachte ich jetzt als 6 einzelne Karten. Wenn ich diese 6 Karten ohne Beachtung der Reihenfolge auf 2 Plätze verteilen will, dann habe ich dafür \(5+4+3+2+1=\frac{5\cdot 6}{2}=15\) Möglichkeiten. Im Prinzip ist das aber der Binomialkoeffizient mit \(n=6\) und \(k=2\), wie Gleichung (1) zeigt.
$$\binom{6}{2}=\frac{6!}{\left(6-2\right)!\cdot 2!}=\frac{720}{48}=15 \tag{1}$$
Bei 6 Personen habe ich bereits \(5+4+3+2+1=\frac{5\cdot 6}{2}=15\) Möglichkeiten, Zweiergruppen zu bilden. Diese 15 Karten verteile ich jetzt auf 3 Plätze. Wenn die Reihenfolge eine Rolle spielen würde, also die Kombination (Parung 3, Paarung 15, Paarung 9) eine andere ist als zum Beispiel (Paarung 9, Paarung 3, Paarung 15), dann habe ich für die erste Zweiergruppe 15 Paarungsmöglichkeiten, für die zweite \(15-1=14\) Paarungsmöglichkeiten (eine Paarungsmöglichkeit ist ja schon weg) und für die dritte Zweiergruppe \(15-2=13\) Paarungsmöglichkeiten (weil zwei Paarungsmöglichkeiten durch die erste und die zweite Zweiergruppe schon weg sind). Das bedeutet, ich habe bei 6 Personen bereits \(15\cdot 14\cdot 13=2730\) Möglichkeiten, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt. Das ist identisch mit Gleichung (2). [1]
$$(15)_{3}=\frac{15!}{\left(15-3\right)!}=2730 \tag{2}$$
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen soll, dann müssen die möglichen Permutationen herausgerechnet werden. Wenn ich drei Spielkarten habe, die ich von links nach rechts vor mich hinlege, dann habe ich \(3!=6\) Möglichkeiten, das zu tun. Ohne die Berücksichtigung der Reihenfolge habe ich also \(\frac{2730}{6}=455\) verschiedene Möglichkeiten, 3 Zweiergruppen aus 6 Personen zu bilden. Das ist aber identich mit dem Binomialkoeffizienten für \(\binom{15}{3}\), wie Gleichung (3) zeigt.
$$\binom{15}{3}=\frac{15!}{\left(15-3\right)!\cdot 3!}=455 \tag{3}$$
So.
Jetzt ist bekannt, wie die Anzahl der Möglichkeiten, verschiedene Zweiergruppen zu bilden, wenn eine Bestimmte Anzahl Personen gegeben ist, errechet werden kann. Das wird auf die ursprüngliche Aufgabestellung angewandt.
Gegeben ist
- 12 Personen
- 6 Gruppen
- 2 Personen pro Gruppe
Zunächst muss ermittelt werden, wieviele Paarungen bei 12 Personen überhaupt gebildet werden können. Das hast du in der Aufgabenstellung zwar schon verraten, aber ich exerziere das jetzt von Anfang an durch. Diese Frage kann über den kleinen Gaus beantwortet werden, siehe Gleichung (4).
$$\textrm{Anzahl Paarungen}=11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=\frac{11\cdot 12}{2}=66 \tag{4}$$
Nach dem, was bei 4 und bei 6 Personen herausgefunden worden ist, ergeben sich \(\binom{66}{6}\) Möglichkeiten, aus 12 Personen 6 verschiedene Zweiergruppen zu bilden. Das sind \(90\,858\,768\) Möglichkeiten, wie Gleichung (5) zeigt.
$$\binom{66}{6}=\frac{66!}{\left(66-6\right)!\cdot 6!}=90\,858\,768\tag{5}$$
Das habe ich per Tabellenkalkulation ausgerechnet, wie in Abbildung 1 zu sehen ist.
Abbildung 1: Berechnung von \(\binom{66}{6}\) über eine Tabellenkalkulation
Vielleicht sind in der Formel ein paar Klammerungen überflüssig. Da habe ich mir einfach gedacht: sicher ist sicher. ;-) Die Formel funktioniert aber richtig. das habe ich an Beispielen überprüft, bei denen ich das Ergebnis kenne (zum Beispiel \(\binom{49}{6}\)).
Viele Grüße
jake2042
Anmerkungen
[1]
Vgl. Krengel 2005:8 und Tabelle 1.1 in Krengel 2005:9
Literatur
Krengel, Ulrich, (8)2005: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. (= vieweg studium. Aufbaukurs Mathematik 9) Wiesbaden: Vieweg
─ jake2042 22.08.2019 um 04:42