Man kann es auch unnötig kompliziert machen. Die erste Antwort geht gar nicht auf die Frage ein und die zweite Antwort ist unnötig kompliziert. Der Faktor $n$ in der Formel gibt lediglich die Anzahl der Summanden an. Überlege dir also wie viele Zahlen es zwischen $a$ und $b$ gibt mit $a$ und $b$ eingeschlossen. 

Beispiel: Wie viele Zahlen gibt es von 5 bis 25? Kannst du dafür dann die allgemeine Formel herleiten? Wenn ja, wende sie auf deine Grenzen an. Das hat auch nix mit Indexverschiebung zu tun.

Dein Ergebnis ist richtig, der Lösungsweg ist eine von vielen Möglichkeiten. es geht auch systematisch wie folgt.
Für i=3 hat man \((3+4)+(3+6)+(3+8)) =27\) und für i=4 hat man \((4+4)+(4+6))=18\).

Moin,
zur Verschiebung des Summationsindex:
Nimm dir für den Anfang einfach eine ganz neue Variable, z.B. k her, die ebenfalls nur natürliche Werte annimmt. Nun setzt du \(k=j-1\). Dann ersetzt du j durch k in der Summe, also: \(\sum_{i=3}^{4}\sum_{j=2}^{9-i}(i+2j)\) wird wegen \(j=2 \Rightarrow k=1\) und \(j=9-i \Rightarrow k=8-i\) zu \(\sum_{i=3}^{4}\sum_{k=1}^{8-i}(i+2(k+1))\)
Dann kannst du die Summenformel anwenden. Wenn du geübter mit Indexverschiebungen wirst, solltest du der Einfachheit halber keine neue Variable einführen, man ersetzt dann quasi j durch j+1, oder \(j=j-1\), wobei man das gleiche tut wie bei \(k=j-1\).
LG