Distanzfunktion

Aufrufe: 506     Aktiv: 14.05.2021 um 11:56
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Es sei (M, d) ein metrischer Raum, und es seien X, Y kompakte Teilmengen von M mit X ∩ Y = { }. Beweisen Sie, dass es offene Mengen O(indize x) und O(indize y) gibt mit      X ⊂ O(indize x) ⊂ M,      Y ⊂ O(indize y) ⊂ M,       dist(O(indize x) ,O(indize y) ) > 0, 
  wobei dist(·,·) die Distanzfunktion dist(X, Y ) := inf {z : z = d(x, y) mit x ∈ X, y ∈ Y } ist.
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Du kannst die (stetige!) Abbildung \(f:M\to\mathbb R,x\mapsto\frac{\mathrm{dist}(X,x)}{\mathrm{dist}(X,x)+\mathrm{dist}(Y,x)}\) betrachten, sowie \(O_X=f^{-1}(]-\varepsilon,\varepsilon[)\) und \(O_Y=f^{-1}(]1-\varepsilon,1+\varepsilon[)\) mit \(\varepsilon<\frac12.\)
Den positiven Abstand kannst du dann per Widerspruch mittels konvergenter Folgen zeigen, alles andere sollte klar sein.
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