Hallo,

es gilt

$$ x = x + 0 = x + \frac {y -y} 2 = \frac {2x} 2 + \frac y 2 - \frac y 2 = \frac x 2 - \frac y 2 + \frac x 2 + \frac y 2 = \frac 1 2 (x-y) + \frac 1 2 (x+y) $$

Wenn du das genauso für \( y \) machst, erhälst du

$$ y = \frac 1 2 (y-x) + \frac 12 (y+x) = - \frac 1 2 (x-y) + \frac 1 2 (x+y) $$

Man kann aber auch über folgenden Ansatz drauf kommen. Wir wollen zeigen, dass 

$$ \mathrm{span}(x,y) \subset \mathrm{span}((x-y),(x+y)) $$

Wenn wir die Vektoren \( x \) und \( y \) durch die beiden Vektoren \( x-y \) und \( x+y \) erzeugen können, können wir mit diesen beiden Vektoren auch alle Vektoren erzeugen, die von \( x \) und \( y \) erzeugt werden. Damit erzeugen dann \( x-y \) und \( x+y \) den Vektorraum \( \mathrm{span}(x,y) \). 

Also suchen wir

$$ x = a (x-y) + b (x+y) = ax - ay + bx + by = (a+b)x + (b-a)y $$ 

Ein Koeffizientenvergleich liefert das LGS

$$ \begin{array}{cccc} I:& a+b & = & 1 \\ II: & b-a & = & 0 \end{array} $$

das liefert 

$$ a = b = \frac 1 2 $$

analog kannst du für \( y \) ansetzen.

Grüße Christian