Du kannst dir zum Verständnis mal eine Zeichnung machen. 
Im Koordinatensystem trägst du den Graphen von f=2x-1 ein.
Dann zeichnest du den Graphen von g=x+2.
Du siehst , dass g für x<-2 negativ wird. |g| = |x+2| ist dann im Bereich (\-\infty | -2) = -(x-2) ; sonst gilt |g|=  g =x+2
Wenn beide Graphen eingezeichnet sind siehst du auch deutlich , wo gilt |g|= |x+2| <= 2x-1 =f ; nämlich für x>=3.
Dort schneiden sich die Geraden und ab da liegt f über |g|

Ich würde gerne auch auf den sprachlichen Widerspruch in deiner Aussage "x soll ja grösser gleich 3 sein und grösser gleich -2 dann könnte die lösungs menge doch auch -2 bis unendlich sein" aufmerksam machen.

x soll größer-gleich 3 UND größer-gleich -2 sein!

Ist denn z. B. -1 (also eine Zahl aus dem von dir vorgeschlagenen Intervall) größer-gleich 3 UND größer-gleich -2? Nein, -1 ist NUR größer-gleich -2. 

Alle Zahlen aus der Lösungsmenge müssen doch beide Bedingungen erfüllen! Dafür steht das "und". Erst Zahlen größer-gleich 3 erfüllen beide Bedingungen.

Wird es damit vielleicht nachvollziehbar? :-)