Das Prinzip der Induktion ist ja, dass um eine Aussage für alle $n$ zu zeigen, du stattdessen zeigst, dass sie für einen Startwert (hier 1) gilt und wann immer sie für ein $n$ gilt, sie auch für $n+1$ gilt. Wenn wir die Aussage $P$ nennen, musst du im Induktionsschritt also die Implikation $$\forall n\in\mathbb N : P(n)\Longrightarrow P(n+1)$$ Um zu zeigen, dass das gilt, musst du $P(n)\Longrightarrow P(n+1)$ für jedes $n$ zeigen, also wählst du ein beliebiges, aber festes, und zeigst das für dieses $n$. Um wiederum die Implikation $P(n)\Longrightarrow P(n+1)$ zu zeigen, nimmst du die linke Seite $P(n)$ an und zeigst daraus die rechte Seite $P(n+1)$. Also musst du insgesamt annehmen, dass $P(n)$ für ein beliebiges, aber festes $n\in\mathbb N$ gilt und dann $P(n+1)$ beweisen.
Die Annahme $\forall n\in\mathbb N:P(n)$ anzunehmen, wäre wenig hilfreich, denn das ist ja gerade das, was du zeigen willst.