Das Prinzip der Induktion ist ja, dass um eine Aussage für alle \(n\) zu zeigen, du stattdessen zeigst, dass sie für einen Startwert (hier 1) gilt und wann immer sie für ein \(n\) gilt, sie auch für \(n+1\) gilt. Wenn wir die Aussage \(P\) nennen, musst du im Induktionsschritt also die Implikation $$\forall n\in\mathbb N : P(n)\Longrightarrow P(n+1)$$ Um zu zeigen, dass das gilt, musst du \(P(n)\Longrightarrow P(n+1)\) für jedes \(n\) zeigen, also wählst du ein beliebiges, aber festes, und zeigst das für dieses \(n\). Um wiederum die Implikation \(P(n)\Longrightarrow P(n+1)\) zu zeigen, nimmst du die linke Seite \(P(n)\) an und zeigst daraus die rechte Seite \(P(n+1)\). Also musst du insgesamt annehmen, dass \(P(n)\) für ein beliebiges, aber festes \(n\in\mathbb N\) gilt und dann \(P(n+1)\) beweisen.
Die Annahme \(\forall n\in\mathbb N:P(n)\) anzunehmen, wäre wenig hilfreich, denn das ist ja gerade das, was du zeigen willst.