Negation einer Aussage

Erste Frage Aufrufe: 294     Aktiv: 11.07.2023 um 11:52

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Hallo zusammen,

folgendes Beispiel kann ich mir nicht erklären.

Geben Sie die Negationen der folgenden Aussagen an:

Es gibt eine natürliche Zahl, die größer als 17/8 und kleiner als 23/8 ist.

Die Lösung lautet:

Alle natürlichen Zahlen sind entweder kleiner oder gleich 17/8 oder größer oder gleich 23/8.

Für mein Dafürhalten ist die Aussage: "Es gibt eine ... " falsch.
Also muss die Negation dieser Aussage wahr sein.
Aber weder sind alle natürlichen Zahlen kleiner oder größer als die beiden Brüche, noch sind sie gleich. Also nicht wahr.
Wo denke ich falsch?

Vielen Dank für mögliche Hilfe.
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Formal lautet die richtige Negation:
Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt: $n\le \frac{17}8$ oder $n\ge \frac{23}8$.
Da ist dann auch klar, dass diese Aussage wahr ist.
Vorsicht mit dem "entweder ...oder". Das ist logisch etwas anderes als "oder". Die richtige Negation enthält nur "oder" (kein "entweder...oder"), das ist die deMorgan-Regel.
Die Formulierung mit "alle natürlichen Zahlen sind..." ist also nicht gut, man könnte auch sagen: falsch.
Du solltest selbst auf eine Lösung kommen, und danach(!) in eventuelle vorgegebene Lösungen schauen. Letztere können aber falsch oder ungenau oder nicht die einzig möglichen Lösungen sein, daher ist gleich nachschauen kein guter Weg.
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Vielen Dank für die fundierte Antwort.
Ihre Darstellung der richtigen Negation mittels n ist für mich viel verständlicher als "Alle natürlichen Zahlen sind ...".
Und die Klarstellung zum Gebrauch des "oder" hat mich wieder auf den Weg gebracht. Als deMorgan-Regel kannte ich es bislang aber nicht.
Danke nochmals.
  ─   biene.maja 11.07.2023 um 11:26

Eine der (beiden) deMorgan-Regeln lautet $\neg (A \land B) \iff \neg A\lor \neg B$, die wurde hier verwendet.
Man kann logische Aussagen nach dem Negieren noch sprachlich gefälliger formulieren, aber dabei muss Vorsicht walten um den Sinn nicht zu verschleiern. Daher erstmal formal negieren, auch wenn's holprig klingt.
  ─   mikn 11.07.2023 um 11:52

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