DGL Beweistechnik

Aufrufe: 75     Aktiv: 31.10.2021 um 20:30

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Hey, ich hab folgende Aufgabe und bräuchte mal einen Ansatz und zwar ist \(y'(t)\) = \(y(t)^2\) eine DGL. Als Lösung habe ich \(y(t)\) = -\(\frac{1}{t+C}\), die bei -C eine Definitionslücke hat. Gesucht ist dabei die Lösung, die auf einem möglichst großen Intervall definiert ist. Es könnte ja jetzt noch "bessere" Lösungen geben. 
Zeigen soll man jetzt, wenn es ein \(t_0\) \(\in\) \(I\) mit \(y(t_0)\) \(\neq\) 0 gibt, so gilt \(y(t)\) \(\neq\) 0 für alle t \(\in\) \(I\) Dazu ist sogar der Tipp gegeben, man soll \(t_1\) := inf { t \(\in \) \(I\) : t \(\geq\) \(t_0\), y(t) = 0 } betrachten, und annehmen, dass \(t_1\) \(\in\) \(I\) ist und dann zeigen, dass für (\(t_0, t_1\)) gilt: \(\frac{1}{y(t)}\) - \(\frac{1}{y(t_0)}\) = \(t_0 - t\) und das Ganze dann zu einem Widerspruch führen. 
Ich hab keine Ahnung wie ich sowas zeigen kann, dass die Gleichung in diesem Intervall erfüllt wird, einfach einsetzten erscheint mir zu einfach. Über Hilfe freue ich mich sehr. Danke.
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So könnte man es zeigen, ergänze die Details: Sei \(y\) eine Lösung auf \(I\) mit \(y(t_0)\neq0\). Angenommen, \(y\) habe in \([t_0,\infty)\cap I\) eine Nullstelle. Setze \(t_1:=\inf\{t\in I:t\ge t_0,\ y(t)=0\}\). Da \(y\) stetig ist, gilt \(t_1=\min\{t\in I:t\ge t_0,\ y(t)=0\}\). Genau so, wie man mit Hilfe der Trennung der Variablen die Form der allgemeinen Lösung zeigt, folgt die Beziehung \(\frac1{y(t)}-\frac1{y(t_0)}=t_0-t\) für alle \(t\in(t_0,t_1)\). Bilde auf beiden Seiten dieser Gleichung den Betrag und lasse \(t\) gegen \(t_1\) streben.
Hilft das?
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danke! Habs jetzt gut verstanden   ─   h1tm4n 31.10.2021 um 20:30

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