Es ist zu zeigen, dass \( Z(GL(3, \mathbb{R}))=\{ r \cdot I_3 \vert r \in \mathbb{R}^* \} \) ist.

Wir zeigen zunächst die Inklusion \( \{ r \cdot I_3 \vert r \in \mathbb{R}^* \} \subset Z(GL(3,\mathbb{R})) \).

Sei dafür \(r \in \mathbb{R}^* \) beliebig. Für alle \(M \in GL(3,\mathbb{R}) \) gilt nun

\( M (r \cdot I_3) = r \cdot (M I_3) = r \cdot M = r \cdot (I_3M) = (r \cdot I_3) M \)

Da \( r \cdot I_3 \) auch offensichtlich in \(GL(3, \mathbb{R})\) liegt, ist somit \( r \cdot I_3 \in Z(GL(3,\mathbb{R})) \).

Nun zeigen wir die Inklusion \( Z(GL(3, \mathbb{R})) \subset \{ r \cdot I_3 \vert r \in \mathbb{R}^* \} \).

Sei \( A \in Z(GL(3,\mathbb{R})) \) beliebig. Wir müssen zeigen, dass \(A = r \cdot I_3 \) ist für ein \(r \in \mathbb{R}^*\).

Wir zeigen zunächst, dass die Einträge von \(A\) außerhalb der Diagonalen Null sind.

Sei \(a_{uv} \) ein beliebiger Eintrag außerhalb der Diagonale (also \(u \neq v\)). Wir definieren die Dreiecksmatrix \(D \in M^{3 \times 3}(\mathbb{R})\) durch \(d_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j \\ 1 & (i,j)=(v,u) \\ 0 & sonst \end{cases} \)

Seien nun \( B = AD \) und \(C=DA\). Dann gilt \(b_{uu} = \sum_{k=1}^3 a_{uk} \cdot b_{ku} = a_{uu} + a_{uv} \) und \( c_{uu} = \sum_{k=1}^3 b_{uk} \cdot a_{ku} = a_{uu} \).

Da \(D\) offensichtlich in \(GL(3,\mathbb{R})\) ist und da \(A\) im Zentrum liegt, muss \( B = C \) und somit insbesondere \( b_{uu} = c_{uu} \) sein. Dies führt dann zu \( a_{uv} = 0\).

Es bleibt noch zu zeigen, dass die Einträge auf der Diagonalen von \(A\) alle gleich \(a_{11}\) sind, dann gilt nämlich wie gewünscht \(A=a_{11} \cdot  I_3\). Und da insbesondere \(A \in GL(3, \mathbb{R}) \) ist, muss dann schon \(a_{11} \in \mathbb{R}^*\) sein.

Wir betrachten die obere Dreiecksmatrix \(E \in M^{3 \times 3}(\mathbb{R}) \) definiert durch \( e_{ij} = \begin{cases} 1 & i \le j \\ 0 & sonst \end{cases} \)

Seinen nun \( F=AE \) und \( G = EA \). Für \(1 \le w \le 3\) gilt dann \( f_{1w} = \sum_{k=1}^3 a_{1k} \cdot e_{kw} = a_{11} \) und \( g_{1w} = \sum_{k=1}^3 e_{1k} \cdot a_{kw} = a_{ww} \).

Da \(E\) in \(GL(3,\mathbb{R})\) ist und da \(A\) im Zentrum liegt, muss \( F = G \) sein. Für \(1 \le w \le 3\) gilt also \( f_{1w} = g_{1w} \) und somit \( a_{11} = a_{ww} \).

Als kleiner Fakt am Rande: Wir haben in dem Beweis nicht verwendet, dass wir mit \(3 \times 3\)-Matrizen über \(\mathbb{R}\) arbeiten. Tatsächlich gilt auch allgemein für jeden Körper \(K\) und jedes \(n \in \mathbb{N}\) die Gleichheit \( Z(GL(n,K)) = \{ r \cdot I_n \vert r \in K^* \} \)