Partielle Ableitungen / Extremwertbestimmung unter Nebenbedingung

Erste Frage Aufrufe: 380     Aktiv: 20.12.2022 um 23:12

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Hallo zusammen,

bei folgenden Aufgaben komme ich nicht weiter.
1)
Berechnen Sie Extremwerte und Sattelpunkte der folgenden Funktion:
f(x, y)=y²-yx²+4y+1

Ansatz: Ableitungen nach x und y gebildet:
f'x=-2xy ; f"xx=-2y ; f'''xxx=0
f'y=2y-x²+4 ; f"yy=2 ; f'''yyy=0
gemischt f"xy= ?

Ich brauch die ersten Ableitungen für die Extrema, aber da komme ich nicht weiter....


2)
Ein Monopolist stellt ein Produkt in zwei verschiedenen Ausführungen her. Bei einem Verkaufspreis x
je Mengeneinheit (ME) der Sorte 1 und einem Verkaufspreis y je ME der Sorte 2 lauten die
Nachfragefunktionen:

nach Sorte 1:
f1(x, y)=39500-1000x+400y
nach Sorte 2:
f2(x, y)=6500+300x-800y
Gesucht sind die Preise x und y bei denen der Gesamtumsatz maximiert wird. Es wird die Annahmen
getroffen, daß die Nachfragemengen auch abgesetzt werden.


Ansatz: Nebenbedingung: x*y=maximal?

Wer lieb, wenn jemand helfen könnten, egal ob bei 1) oder 2) oder beide, bin für jede Hilfe dankbar!


LG, Z

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2 Antworten
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Für f´´xy leitest du f´x nach y ab, also -2xy leitest du nach y ab. Nach dem Satz von Schwarz gilt dann auch, dass f´´xy=f´´yx ist. Nun hast du alle Ableitungen und kannst die Jacobi Matrix und Hesse Matrix aufstellen, um die Extrempunkte zu bestimmen.
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Zu 2.)

Um die Preise x und y zu bestimmen, bei denen der Gesamtumsatz des Monopolisten maximiert wird, kann man folgendermaßen vorgehen:

  1. Die Nachfragefunktionen für beide Produktsorten aufstellen. Die Nachfragefunktion f1(x, y) gibt an, wie viel von Sorte 1 bei einem Preis x für Sorte 1 und einem Preis y für Sorte 2 abgesetzt wird. Die Nachfragefunktion f2(x, y) gibt analog dazu die Nachfrage nach Sorte 2 bei den Preisen x und y an.

  2. Den Gesamtumsatz berechnen. Der Gesamtumsatz ist die Summe der Umsätze von Sorte 1 und Sorte 2. Dazu multipliziert man die Nachfragemenge von Sorte 1 mit dem Verkaufspreis x und die Nachfragemenge von Sorte 2 mit dem Verkaufspreis y.

  3. Den Gesamtumsatz als Funktion der Preise x und y aufstellen. Dazu setzt man den Ausdruck für den Gesamtumsatz (Umsatz von Sorte 1 plus Umsatz von Sorte 2) in Bezug auf die Preise x und y.

  4. Die Partialableitungen der Gesamtumsatzfunktion nach x und nach y berechnen. Diese Partialableitungen geben an, wie sich der Gesamtumsatz bei einer Änderung des Preises x oder des Preises y verändert.

  5. Die Gleichungen für die Nullstellen der Partialableitungen nach x und nach y lösen. Diese Gleichungen geben die Preise x und y an, bei denen der Gesamtumsatz maximiert wird.

  6. Die Lösungen überprüfen. Um sicherzustellen, dass man tatsächlich ein Maximum und kein Minimum erreicht hat, kann man die zweite Partialableitung der Gesamtumsatzfunktion nach x und nach y berechnen und prüfen, ob sie an den Lösungen positiv oder negativ ist. Eine positive zweite Partialableitung bedeutet, dass man ein Maximum erreicht, eine negative zweite Partialableitung bedeutet, dass man ein Minimum erreicht.

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