Du solltest dringend den Funktionsbegriff wiederholen, der wird andauernd gebraucht. Eine Funktion ist eine Zuordnung, hier wird $x$ auf $\det B$ zugeordnet, die Zuordnung heißt hier $\varphi$, also die Vorschrift ist $\varphi(x)=\det B$. Soweit steht es in der Aufgabenstellung schon, Du musst darin nur noch $\det B$ durch das von Dir errechnete ersetzen.
Ja, "linear" in strengem Sinne bedeutet "additiv und homogen". Dahinter stecken Rechenregeln, die geprüft werden müssen. Arbeite das gründlich durch ("ein paar Merkmale...." reicht nicht zum Verstehen).
Und ja, dieses $\varphi$ ist in diesem Sinne nicht linear. Probier selbst aus, welche Rechenregel verletzt ist (Gegenbeispiel finden!).