Ein etwas leichterer und anschaulicher Zugang: 

Wenn du eine Gerade $f$ hast, so lässt sich die Steigung mit Hilfe des Steigungsdreieckes berechnen. Es gilt dann $m_f=\frac{\Delta y}{\Delta x}$, wobei $\Delta x=x_2-x_1$ und $\Delta y=y_2-y_1$ die entsprechenden Differenzen sind. Mach ruhig mal eine Skizze!

Wenn du diese Gerade nun um 90° drehst, was passiert dann mit dem Steigungsdreieck der "neuen" Geraden? Nennen wir diese gedrehte Gerade $g$. Dann gilt für das Steigungsdreieck, dass sich die Rolle der Seiten sowie das Vorzeichen ändert. Es gilt dann $m_g=-\frac{\Delta x}{\Delta y}$. 

Durch Multiplikation beider Steigungen erhält man dann das gewünschte Resultat. Diesen Beweis kann man sich sehr leicht veranschaulichen, indem man sich zwei zueinander senkrechte Geraden mit deren Steigungsdreiecken, die kongruent zueinander sind, zeichnet.

Du kannst 2 Geraden verschieben wie du willst, wenn sie rechtwinklig sind bleiben sie es.
Verschiebe diese auf den Koordinatenurpsrung und rotiere diese, sodass du
\(f(x)=-x\) und \(f_2(x)=x\) erhälst.

Weitere evtl. angepasstere Lösung:
\(\alpha + \beta = \pi\)
\(\alpha = arctan(m)\) wobei m die Steigung der ersten Gerade ist
\(\beta = arctan(\frac{1}{m`})\) weil hier \(\frac{x}{f(x)}\) genommen werden muss
so erhälst du:
\(\frac{1}{m`} = \tan{\pi - \alpha}\)
Periodizität
\(\frac{1}{m`} = \tan{(- \alpha)}\)
\(\frac{1}{m`} = -m\) einfach eingesetzt.
Das Produkt der Steigungen ist daher immer -1

Hallo, kennst du schon Vektoren und das Skalarprodukt?

Damit lässt es sich auch recht gut zeigen:

Sagen wir, es seien 2 Funktionen f und g gegeben.

Wir betrachten einen Schnittpunkt x der Beiden.

An dem Punkt kann man Tangenten T_f und T_g bauen.

Wobei T_f die Steigung f'(x)

und T_g die Steigung g'(x) hat.

Nun kann ich mir (nach rechts zeigende) Richtungsvektoren zu den 2 Tangenten bauen:

für T_f findet sich v_f=(1,f'(x))

und für T_g findet sich v_g=(1,g'(x))

Wenn die Tangenten senkrecht zueinander sind, dann sind es auch die 2 Vektoren, korrekt?

Und wenn die Tangenten zueinander senkrecht sind, sind es (an der Stelle) auch die Funktionsgraphen.

 

Wie prüft man ob 2 Vektoren senkrecht sind?

Genau, wenn das Skalarprodukt 0 ist!

Also wenn

0=v_f*v_g=(1,f'(x)) *(1,g'(x))=1*1+f'(x)*g'(x)

etwas umgestellt folgt:

-1=f'(x)*g'(x)

 

Also wenn das produkt der Steigungen -1 ergibt, sind die Graphen an der Stelle senkrecht :-)