Zeige, dass die Summe konvergiert.

Aufrufe: 460     Aktiv: 23.11.2020 um 14:48
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Sei  \( (a_{k})_{k∈N} \) eine Folge mit \( (a_{k})\ge 0 \) für alle k∈N.

Die Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \) sei konvergent. Zeigen Sie, dass auch \( \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}^2 \) konvergiert mit  \( \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}^2 \le \)  \( (\sum_{k=1}^{\infty} a_{k})^2\)

 

Muss ich bei dieser Aufgabe das Majorantenkriterium anwenden? 

 

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Majorante ist schonmal eine gute Idee. Die Aufgabe schaut nur auf den ersten Blick kompliziert aus. Sie ist recht harmlos und kurz.   ─   gardylulz 22.11.2020 um 12:39
Muss ich dann \( \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \) als \( b_{k} \) nehmen? Also als die Majorante?   ─   jessy234 22.11.2020 um 12:53
e= ∈



Wenn \( \sum_{keN}^{} a_{k} \)< \( {\infty} \), so ist \( a_{k} \) --> 0 für k --> \( {\infty} \). Also gibt es ein keN, sodass für alle k \( \ge \) N gilt: 0\( \le \) \( a_k \) \( \le \) 1.

Es gilt für \( a_ke[0,1]:a_k^2 \le a_k\).

Daraus folgt: \( \sum_{keN}^{} a_k^2 \)= \( \sum_{keN}^{} a_k*a_k \)\( \le \)\( \sum_{keN}^{} 1*a_k \)=\( \sum_{keN}^{} a_k\)< \( {\infty} \).



Kann ich das so beweisen?
   ─   jessy234 22.11.2020 um 17:07
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Deine Idee ist gut, aber hat in der Umsetzung vernachlässigt, dass \(a_k>1\) für eine endliche Anzahl von Indizes \(k\) gelten kann.  Sie liefert Dir außerdem nicht die geforderte Ungleichung.

Eleganter: Beweise erst \(\sum_{k=1}^na_k^2\le\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)^2\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) und folgere dann mit dem Monotoniekriterium.

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