Wann ist eine Abbildung multilinear?

Aufrufe: 2280     Aktiv: 31.01.2021 um 13:20

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Hallo Zusammen

In Linearer Algebra haben wir für die Herleitung der Determinante einer Matrix, Multilinearformen eingeführt. Ich finde aber das Thema ziemlich abstrakt und habe noch nicht wirklich einen Durchblick. Wäre euch also sehr dankbar wenn ihr euch das anschauen könntet und wir gemeinsam das Thema ein wenig vertiefen könnten.

Also ich weiss was eine Linearform ist, dass das eine lineare Abbildung \(f\) zwischen einem Vektorraum \(V\) und seinem zugrundeliegenden Körper \(K\) ist. Also \(f:V->K\) mit \(f\) linear. Zusätzlich weiss ich dass der Dualraum alle solchen linearen Abbildungen \(f\) enthält. Nun haben wir auch eine Definition gehabt, wann eine Abbildung multilinear ist, welche ich wirklich nicht einordnen und verstehen kann. Denn es gibt ja multilineare Abbildungen und multilineare Formen wobei ja eine multilinearform nichts anderes als eine Abbildung \(f:V^n->K\) ist. Was ist aber dann eine multilineare Abbildung?

Vielen Dank für eure Hilfe.
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Bei einer multilinearen Abbildung handelt es sich um eine Abbildung mit mehreren Veränderlichen. Dies sind in deinem Fall Vektoren, diese müssen aber nicht alle aus dem selben Vektorraum sein, die Vektorräume müssen dabei nur über dem selben Körper gebildet worden sein. Die Eigenschaft, die derartige Abbildung multilinear macht ist, dass wenn du alle, bis auf eine Veränderliche,  konstant hältst,  sie linear ist. So sind beispielsweise Linearität und Bilinearität nur Spezialfälle der Multilinearität.
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also heisst dass, dass eine Multilineare Abbildung eine Abbildung \(f:V_1\times V_2\times ...\times V_n->K\) ist? wobei gilt
\(f(v_1+v_2+...+v_n)=f(v_1)+f(v_2)+...+f(v_n)\) und \(f( \lambda \cdot (v_1+...+v_n))=\lambda \cdot (f(v_1)+...+f(v_n))\)
  ─   karate 31.01.2021 um 11:55

Erstens kann die Abbildung auch in einen anderen K-Vektorraum abbilden und zweitens, sind das, was du gerade schreibst Abbildungen einer Veränderlichen. Ich versuche es hier mal einfach zu definieren: Eine Abbildung \(f: V_1 × \dots × V_i ×\dots × V_n \to V\) ist multilinear, genau dann wenn jede Abbildung \(f_i: V_i \to V\) mit \(x \mapsto f(c_1, \dots, c_{i-1},x,c_{i+1},\dots, c_n)\) mit Konstanten \(c_1, \dots, c_n\) linear ist.   ─   mathejean 31.01.2021 um 12:07

Mit anderen Worten, eine Abbildung \(f\) ist genau dann multilinear, wenn jede partielle Abbildung \(f_i\) von \(f\) linear ist.   ─   mathejean 31.01.2021 um 12:11

aha also das heisst ich nehme eine abbildung \(f_i:V_i->V\) und lasse dabei alle anderen Einträge von \(V_q\) mit \(q \neq i\) als konstanten stehen und dann muss die Abbildung für alle \(i\) linear sein?
  ─   karate 31.01.2021 um 12:20

Genau, jede partielle Abbildung muss linear sein   ─   mathejean 31.01.2021 um 12:24

ah okei super und was ist dann der zusammenhang dieser multilinearen Abbildung und einer multilinearform?   ─   karate 31.01.2021 um 12:50

Bei einer multilinearen Abbildung ist die Zielmenge ein K-Vektorraum und bei einer Multilinearform ist die Zielmenge K selber. Also ist eine Multilinearform ein Spezialfall einer multilinearen Abbildung.   ─   mathejean 31.01.2021 um 13:18

ah okei aber sonst gelten die gleichen regeln?   ─   karate 31.01.2021 um 13:19

Genau   ─   mathejean 31.01.2021 um 13:20

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