1
Bei einer multilinearen Abbildung handelt es sich um eine Abbildung mit mehreren Veränderlichen. Dies sind in deinem Fall Vektoren, diese müssen aber nicht alle aus dem selben Vektorraum sein, die Vektorräume müssen dabei nur über dem selben Körper gebildet worden sein. Die Eigenschaft, die derartige Abbildung multilinear macht ist, dass wenn du alle, bis auf eine Veränderliche, konstant hältst, sie linear ist. So sind beispielsweise Linearität und Bilinearität nur Spezialfälle der Multilinearität.
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
mathejean
Student, Punkte: 10.87K
Student, Punkte: 10.87K
Erstens kann die Abbildung auch in einen anderen K-Vektorraum abbilden und zweitens, sind das, was du gerade schreibst Abbildungen einer Veränderlichen. Ich versuche es hier mal einfach zu definieren: Eine Abbildung \(f: V_1 × \dots × V_i ×\dots × V_n \to V\) ist multilinear, genau dann wenn jede Abbildung \(f_i: V_i \to V\) mit \(x \mapsto f(c_1, \dots, c_{i-1},x,c_{i+1},\dots, c_n)\) mit Konstanten \(c_1, \dots, c_n\) linear ist.
─
mathejean
31.01.2021 um 12:07
Mit anderen Worten, eine Abbildung \(f\) ist genau dann multilinear, wenn jede partielle Abbildung \(f_i\) von \(f\) linear ist.
─
mathejean
31.01.2021 um 12:11
aha also das heisst ich nehme eine abbildung \(f_i:V_i->V\) und lasse dabei alle anderen Einträge von \(V_q\) mit \(q \neq i\) als konstanten stehen und dann muss die Abbildung für alle \(i\) linear sein?
─ karate 31.01.2021 um 12:20
─ karate 31.01.2021 um 12:20
Genau, jede partielle Abbildung muss linear sein
─
mathejean
31.01.2021 um 12:24
ah okei super und was ist dann der zusammenhang dieser multilinearen Abbildung und einer multilinearform?
─
karate
31.01.2021 um 12:50
Bei einer multilinearen Abbildung ist die Zielmenge ein K-Vektorraum und bei einer Multilinearform ist die Zielmenge K selber. Also ist eine Multilinearform ein Spezialfall einer multilinearen Abbildung.
─
mathejean
31.01.2021 um 13:18
ah okei aber sonst gelten die gleichen regeln?
─
karate
31.01.2021 um 13:19
Genau
─
mathejean
31.01.2021 um 13:20
\(f(v_1+v_2+...+v_n)=f(v_1)+f(v_2)+...+f(v_n)\) und \(f( \lambda \cdot (v_1+...+v_n))=\lambda \cdot (f(v_1)+...+f(v_n))\) ─ karate 31.01.2021 um 11:55