Taylorpolynom und Approximationsfehler

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Schönen guten Abend,

ich habe Probleme den Fehler hier korrekt abzuschätzen.

Ich habe bisher die Ableitungen und Polynome bestimmte, aber ich habe überhaupt keine Ahnung

wie man bei einem Approximationsfehler ohne vorgegebenes Intervall vorgeht.

Meine Idee wäre folgendes Intervall [0,1/2[  ,jedoch sehen die Ergebnis alles andere als richtig aus.

Könnte mir vielleicht jemand zeigen, wie genau man da korrekt vorgeht?

 

gefragt 2 Wochen her
wurzelbehandlung
Student, Punkte: 38

 
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2 Antworten
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Das Intervall ist doch eindeutig angegeben: (-1/2,1/2). Wenn deine Rechnung unsicher ist, lade sie hier hoch, dann schauen wir mal.

geantwortet 2 Wochen her
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 10.25K
 

Tut mir leid ich weiß nicht genau, ob und wie man hier korrekt den Latex Code einfügt, deshalb hab ich es erstmal so aufgeschrieben.
3. Ableitung von f = 3/8*(2+x)^(-5/2)
Approximationsfehler = 1/16*x^(3)*(2+ξ)^(-5/2)
In der Theorie soll ich geeignete Werte aus dem Intervall (-1/2,1/2) für x und xi wählen, damit der Fehler möglichst groß wird.
Das wäre also jetzt für mein Ergebnis x=0,5 und xi=-0,5. Laut der Aufgabenstellung ist |x| < 1/2, darf ich dann 1/2 eigentlich noch einsetzen bzw liegt es noch im Intervall?
  ─   wurzelbehandlung 1 Woche, 6 Tage her

So geht es auch mit dem Aufschreiben, andere laden Fotos von ihren Rechnungen hoch.
Der App-fehler ist richtig. "In der Theorie...:": ja, aber da das meist nicht geht, schätzt man es nach oben ab, d.h. man sucht eine obere Schranke. Hier:
|Fehler| \(=\frac1{16}|x|^3\frac1{\sqrt{(\xi+2)^5}}\le \frac1{16}0.5^3\frac1{\sqrt{(-0.5+2)^5}}\), weil \(|x|\le 0.5\) und \(\xi\ge -0.5\) (ein Bruch wird größer, wenn der Zähler größer oder der Nenner kleiner wird). Das ist dann der abgeschätzte Fehler. Der muss nicht wirklich für ein x oder xi auftreten, es ist eben eine Abschätzung nach oben.
  ─   mikn 1 Woche, 6 Tage her
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Der Satz von Taylor sagt ja \(f(x)-T_0^2f(x)=\frac{1}{6}f'''(\xi)x^3\) mit \(\xi\) zwischen \(0\) und \(x\). Rechts steht der Fehler, aber mit unbekanntem \(\xi\). Abschätzen heißt jetzt, \(C:=\sup_{|\xi|\le1/2}|f'''(\xi)|\) zu berechnen oder nach oben abzuschätzen und dann oben einzusetzen: \[|f(x)-T_0^2f(x)|\le\frac{C}{6}|x|^3\quad\text{für }|x|\le\frac12.\]

geantwortet 2 Wochen her
slanack
Lehrer/Professor, Punkte: 3.19K
 
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