Existenz eines Fixpunktes einer nicht linearen Gleichung zeigen

Erste Frage Aufrufe: 215     Aktiv: 09.10.2023 um 13:14

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Gegeben ist das nichtlineare Gleichungssystem
$$
\begin{align}
\cos(\arctan(x+y-z))=x+y\\
\arctan(1+x-y+z^2)=y-x\\
1/(1+x^2+z^2)=z
\end{align}
$$

wobei ich die Existenz einer Lösung in $\mathbb{R}^3$ zeigen solle.

Lösungsansatz
Ich würde versuchen den Fixpunktsatz von Brouwer auf die Funktion $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow\mathbb{R}^3$
$$(x,y,z) \mapsto \begin{pmatrix}
\cos(\arctan(x+y-z))-y\\
\arctan(1+x-y+z^2)+x\\
1/(1+x^2+z^2)
\end{pmatrix}$$
anzuwenden. Offensichtlich ist $f$ eine steige Abbildung, aber ich finde keine kompakt konvexe Menge $A$, sodass das Bild von $f(A)$ wieder in $A$ liegt.
Das Problem ist dabei, dass für die ersten zwei Komponenten keine Einschränkung finde (Die dritte Komponente $1/(1+x^2+y^2)$ liegt für alle $x,z$ trivialerweise in $[0,1]$.)

Ich bin für jede Hilfestellung dankbar!
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Ungewöhnliche Aufgabe. Woher kommt das Gleichungssystem, wie lautet die Aufgabe im Original (am besten Foto hochladen, oben "Frage bearbeiten")?   ─   mikn 09.10.2023 um 10:38
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1 Antwort
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Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich
\( x = ((x+y)-(y-x))/2 = (\cos(\arctan(x+y-z))-\arctan(1+x-y+z^2))/2 \)
und
\( y = ((x+y)+(y-x))/2 = (\cos(\arctan(x+y-z))+\arctan(1+x-y+z^2))/2 \).
Eine Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems ist also auch eine Lösung des Gleichungssystems
\( (\cos(\arctan(x+y-z))-\arctan(1+x-y+z^2))/2 = x \)
\( (\cos(\arctan(x+y-z))+\arctan(1+x-y+z^2))/2 = y \)
\( 1/(1+x^2+z^2) = z \).
Man überlegt sich leicht, dass auch andersherum eine Lösung dieses Gleichungssystems eine Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems ist.
Mit dem neuen Gleichungssystem sollte die Anwendung des Fixpunktsatzes von Brouwer besser klappen.
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Student, Punkte: 7.02K

 

Vielleicht hilft auch die Beziehung $\cos(\arctan(a))$ $= \dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}$ weiter?   ─   user77e28f 09.10.2023 um 11:31

Vielen Dank. Mit den Umformungen funktionierts!   ─   meisterkleister 09.10.2023 um 13:14

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