2
Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich
\( x = ((x+y)-(y-x))/2 = (\cos(\arctan(x+y-z))-\arctan(1+x-y+z^2))/2 \)
und
\( y = ((x+y)+(y-x))/2 = (\cos(\arctan(x+y-z))+\arctan(1+x-y+z^2))/2 \).
Eine Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems ist also auch eine Lösung des Gleichungssystems
\( (\cos(\arctan(x+y-z))-\arctan(1+x-y+z^2))/2 = x \)
\( (\cos(\arctan(x+y-z))+\arctan(1+x-y+z^2))/2 = y \)
\( 1/(1+x^2+z^2) = z \).
Man überlegt sich leicht, dass auch andersherum eine Lösung dieses Gleichungssystems eine Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems ist.
Mit dem neuen Gleichungssystem sollte die Anwendung des Fixpunktsatzes von Brouwer besser klappen.
\( x = ((x+y)-(y-x))/2 = (\cos(\arctan(x+y-z))-\arctan(1+x-y+z^2))/2 \)
und
\( y = ((x+y)+(y-x))/2 = (\cos(\arctan(x+y-z))+\arctan(1+x-y+z^2))/2 \).
Eine Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems ist also auch eine Lösung des Gleichungssystems
\( (\cos(\arctan(x+y-z))-\arctan(1+x-y+z^2))/2 = x \)
\( (\cos(\arctan(x+y-z))+\arctan(1+x-y+z^2))/2 = y \)
\( 1/(1+x^2+z^2) = z \).
Man überlegt sich leicht, dass auch andersherum eine Lösung dieses Gleichungssystems eine Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems ist.
Mit dem neuen Gleichungssystem sollte die Anwendung des Fixpunktsatzes von Brouwer besser klappen.
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Student, Punkte: 7.02K
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Vielleicht hilft auch die Beziehung $\cos(\arctan(a))$ $= \dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}$ weiter?
─
user77e28f
09.10.2023 um 11:31
Vielen Dank. Mit den Umformungen funktionierts!
─
meisterkleister
09.10.2023 um 13:14