Konvergenz, Hausdorff, Topologie

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Sei X ein topologischer Raum und x∈X. Eine Teilmenge U⊂X heiBt Umgebung von x, wenn es eine offene Menge V⊂X gibt mit . Sei (xn)⊂X
 eine Folge von Punkten. Wir sagen (xn) konvergiert gegen x∈X wenn zu jeder Umgebung U⊂X von x ein N∈N existiert, sodass xn∈U für alle n≥N. Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass der Grenzwert in topologischen Räumen nicht eindeutig sein muss. Wie verhält sich das, wenr man das Hausdorffaxiom annimmt?


Problem/Ansatz:

mir ist halbwegs klar, wieso der allgemeine Konvergenzbegriff nicht ausreicht, um eine eindeutige Konvergenz zu zeigen.

Der Ansatz zu diesem Teil, wozu ich noch fragen habe :

Betrachten wir die menge x mit mehr als einem Element und die Topologie auf X mit der leeren Menge und X. Dann gibt es für jedes Element nur eine einzige Umgebung (wegen der leeren Menge oder?), x selbst. Sei nun (an )neN eine Folge in x, dann liegen alle Folgeglieder in jeder Umgebung eines beliebigen Elements a aus X (wie ist der Satz zu verstehen?). Jede Folge in X konvergiert also gegen jedes Element von X, und da X nach Voraussetzung mehr als ein Element hat, ist der Grenzwert insbesondere nicht eindeutig.

(Antwort aus einem ähnlichen Post, nur fehlt leider die Erklärung zu dem Hausdorffaxiom)

 

nun zu Hausdorff, hier habe ich leider keinen Ansatz und hoffe auf Hilfe!

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In einem Hausdorff-Raum mit zwei verschiedenen Punkten \(x,y\) existieren Umgebungen \(U\) von \(x\) und \(V\) von \(y\) mit \(U\cap V=\varnothing\). Nimm an, \((z_n)\) sei eine Folge, die gegen \(x\) und gegen \(y\) konvergiert.  Kannst Du das mit der Definition der Konvergenz zu einem Widerspruch führen?
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