Rekonstruktion von punktsymmetrischer Polynomfunktion 3. Grades

Erste Frage Aufrufe: 138     Aktiv: 12.03.2022 um 02:51

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Hallo, 

Eine zum Ursprung punktsymmetrische Polynomfunktion 3.Grades muss doch mithilfe von nur zwei Punkten rekonstruierbar sein (zB. (0 0) und HP(2 5)). Da sie ja nur 2 unbekannte hat ( f(x) = ax^3 + cx ) 
und immer diesselbe form, geben zwei punkte doch bereits genau an, wie die Funktion auszusehen hat.. 
Also warum wird von meinem Lehrer und dem Mathebuch immer gelehrt, dass man die Ableitung null setzen muss und so, wenn doch zwei offensichtliche punkte schon reichen? Und wie genau mach ich das mit nur zwei punkten? (die konventionelle methode kenne ich wie gesagt bereits also bitte nicht damit ankommen, dass ich einfach die benutzen soll)

LG 

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In der Tat reichen 2 Punkte aus um eine solche Funktion zu bestimmen. Wenn nun aber nur ein Punkt (z.B. ein Maximum) gegeben ist, reicht die, wie du sie nennst "konventionelle", Methode nicht mehr aus und man muss zu anderen Mitteln (z.B. zur ersten Ableitung) greifen. Es könnte außerdem vorkommen, dass gar kein Punkt bekannt ist, sondern nur 2 Werte der ersten Ableitung, auch dann reicht es nicht mehr, nur mit der grundlegenden Funktion zu arbeiten. Es kommt eben auf die konkrete Aufgabe an,
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Das war aber nicht die Frage. Die Frage war ja, warum im oben genannten Fall die zwei Punkte nicht ausreichen, obwohl sie eigentlich ausreichen müssten, da man nur zwei Unbekannte hat.   ─   cauchy 11.03.2022 um 21:56

ich glaube kaum, dass deine Antwort hier weiterhelfen konnte, der Punkt (0,0) ist ja gerade deshalb i.d.R. nicht gegeben. Alle anderen Fälle werden in meiner Antwort behandelt.   ─   fix 12.03.2022 um 02:08

Ja, aber genau dann kommt man mit zwei Punkten hin, so dass sich die Frage gar nicht erst stellt. Die Frage ergibt sich also nur, wenn das mit zwei Punkten nicht klappt und das ist genau dann der Fall, wenn man den Ursprung als einen der Punkte wählt.   ─   cauchy 12.03.2022 um 02:51

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Ich denke, dass es explizit um die von dir genannten Punkte geht. Du hast zwei Unbekannte Parameter, also brauchst du auch zwei Bedingungen, um das entsprechende LGS lösen zu können. Das Problem bei deinen Punkten ist jetzt, dass dir der Punkt $(0,0)$, also der Ursprung keine zusätzliche (!) Information über den Graphen der Funktion liefert, wenn du bereits weißt, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dann ist nämlich klar, dass der Graph durch den Punkt $(0,0)$ geht, was du aber schon ausgenutzt hast, indem du den Ansatz abgeändert hast. Eine neue Information bekommst du aus der Punktbedingung dann also nicht mehr. Aus diesem Grund muss man beide Bedingungen aus dem Hochpunkt ziehen. Und bei Extrempunkten ist es immer so, dass man zusätzlich weiß, dass die erste Ableitung bei diesen Punkten 0 sein muss (notwendiges Kriterium). Das liefert uns dann die zwei notwendigen Bedingungen, um den Funktionsterm bestimmen zu können.

Das Vorgehen ist sonst wie bei allen anderen Steckbriefaufgaben auch.
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